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ou aucune; car, s’il y en a une, les points X et Y parcourent la courbe en sens inverses 
et l'on a précisement deux tangentes. Mais comme la courbe n'a pas de tangentes 
doubles et n'est coupée par aucune de ses tangentes d’inflexion, sinon au point de 
contact, le nombre cherché sera le méme pour tous les points M et par un point 
infiniment voisin d'un point d'inflexion passe au moins une tangente; il y en a donc 
toujours deux. 
Une courbe générale de 3° ordre a toujours trois inflexions. 
La correspondance entre un point mobile 4/2 de la courbe et son unique point 
tangentiel P est une correspondance (1, 2). Il y a donc, d’après notre principe general, 
trois inflexions certaines si les points M et P parcourent la courbe en sens contraires. 
Or, tel est le cas present, comme on le voit immédiatement si lon prend M voisin d'un 
point d’inflexion, (il y en a un au moins, puisque G? est d'ordre impair). 
Le produit des rapports dans lesquels les cötes d’un polygone 
sont divisés par les points d’intersection avec une courbe fermée quel- 
congue, est positif. 
Quoique ce théorème, facile à démontrer, soit d'une portée assez restreinte en 
comparaison du théorème (connu) de Carnot il suffit pour démontrer que les formes des 
courbes graphiques du 3° ordre complètement continues sont tout à fait analogues aux 
formes connues des courbes algébriques du même ordre. 
Les courbes générales du 3°"° ordre présentent deux types; celles 
du premier type sont de quatrième classe; les courbes du second type 
sont de la sixième classe. 
A chaque courbe G? du premier type on pourra toujours adjoindre 
une courbe de deuxième classe G? de manière que la courbe composée 
G? + @° soit de 3° ordre et de 6° classe. 
Cette distinction est tout à fait analogue à celle des courbes algébriques. 
Dans la théorie des courbes de 3° ordre le théorème suivant est fondamental, car 
il donne la description complète et unique de la courbe. 
Une courbe fermée et complètement continue, n'ayant d'autres 
singularites que trois points d’inflexion, est nécessairement de 5° ordre. 
La démonstration exacte de cette proposition exige un examen assez détaillé de la 
figure et se laisse mal condenser. 
Une courbe de 3° ordre ayant un point double a un point d’inflexion 
et un seulement et elle est de 4° classe. Quand la courbe a un point de 
rebroussement, elle a aussi un point d’inflexion et elle est de 3° classe. 
De notre principe de correspondance on pourra facilement tirer divers théorèmes 
d'un caractère plus spécial, dont je cite le suivant. 
Dans une G? on pourra inscrire deux polygones, ni plus ni moins, 
dont les cötes passent par des points donnés de la courbe, si le nombre 
des points est impair. 
Si le nombre des points donnés est pair, il peut exister un nombre pair quel- 
conque de polygones, zéro compris. 
Passons à l'examen des courbes ayant des points saillants. Outre l'intérêt que 
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