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ces courbes pourront présenter en elles-mémes, il est nécessaire d’en connaitre les formes 
pour la théorie des courbes du quatrième ordre. 
Un point saillant à tangentes distinctes, peut avoir trois formes diffe- 
rentes, que représentent les figures 6, 7 et 8, page 37. Ces points seront désignés 
respectivement points saillants de 1%, de 24° et de 3° espèce. 
Les nouvelles formes se déduiront des formes connues des courbes générales par 
arrondissement des points saillants dans les courbes nouvelles. 
On arrondit une courbe à l'endroit d'un point saillant en supprimant deux petits 
arcs OM, et OM, et y ajoutant un arc élémentaire o suffisamment petit. On conçoit 
aisément cette opération en voyant les figures 6, 7 et 8. Cette déformation n’altére pas 
l'ordre de la courbe, comme on le démontre facilement. En outre, on verra que par cet 
arrondissement on ajoute à la courbe une ou deux inflexions ou aucune, selon que le 
point est de deuxième, première ou troisième espèce. 
Quand on a arrondi tous les points saillants, la courbe est complètement continue 
et l'on peut alors appliquer les théorèmes déjà trouvés. On a donc: 
Une courbe de 3° ordre, complètement continue sauf en un point 
saillant, a une, deux ou trois inflexions selon que le point saillant est 
dents eer ould espèce: 
Les propositions suivantes sont faciles à démontrer. 
Des deux tangentes en un point saillant, ou bien toutes deux 
coupent la courbe en dehors du point de contact, ou une seule la coupe, 
ou encore ni l’une ni l’autre ne le font, suivant que le point saillant 
elitudiemae, RNCS esipecies 
Par un point saillant O passent 2 tangentes ou une seule ou 
aucune ayant le point de contact en dehors de O, selon que le point 
saillant est de troisième, de deuxième ou de premiere espèce. 
Maintenant il est facile de préciser les formes possibles des courbes ayant un 
point saillant. Elles sont représentées figs. 9, 10 et 11,, pag. 39. 
Quant aux courbes ayant plusieurs points saillants, il vaut mieux laisser de côté 
les points de troisième espèce, car une courbe peut avoir de tels points un nombre tout 
a fait arbitraire. 
L'arrondissement montre clairement que les seules formes possibles des courbes 
de troisieme ordre ayant plusieurs points saillants de premiere ou de deuxieme espece, 
sont les trois formes données par les figures 12, 13 et 14, pag. 40. Ce sont 
1) une courbe sans inflexion, ayant un point saillant de la premiere espece et 
un de la seconde, fig. 12; 
2) une courbe ayant deux points saillants de deuxième espèce et une inflexion, fig. 13; 
3) une courbe sans inflexion, ayant trois points saillants de deuxième espèce, fig. 14. 
Quand une courbe de troisieme ordre a un point double, elle peut avoir encore 
un point saillant de deuxieme espece non situe sur la boucle, voir fig. 15, page 41. Dans 
ce cas aussi le nombre des points saillants de troisième espèce est tout à fait arbitraire. 
