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2 5. Courbes de quatrième ordre. 
Les différences entre les courbes graphiques et les courbes algébriques s’accen- 
tuent déjà très nettement dans les courbes du quatrième ordre. 
En premier lieu une courbe G* du quatrième ordre peut être composée d'un 
nombre illimité de branches, ce dernier mot étant pris dans le sens algébrique !). Prenons, 
par exemple, un nombre quelconque de points tels qu'on n'en puisse jamais trouver trois 
situés en ligne droite. Decrivons en suite des cercles suffisamment petits autour de 
ces points comme centres. Aucune droite n'aura plus de quatre points de rencontre avec 
cet ensemble de cercles. Il convient donc de se contenter des courbes qui ne peuvent 
pas se partager en plusieurs parties complètement continues. 
De plus, outre le nombre des points de rebroussement, les nombres de singu- 
larités des courbes graphiques pourront croître au delà de toute limite. Il en est donc 
d'autant plus désirable de connaître une relation entre ces nombres. En voici une qui 
est unique. 
Une courbe du quatrième ordre n'a pas nécessairement des tangentes 
doubles; mais s'il y en a, leur nombre est égal au nombre des points doubles 
augmenté de la moitié du nombre des points d’inflexion. 
Nous établirons cette relation pour chacun des types suivants. 
En premier lieu, determinons la forme d'une courbe G* sans point double. On a: 
Les deux points de contact d'une tangente double avec une G* sans 
points doubles, limitent un are contenant deux points d'inflexion et deux 
seulement. 
Cette proposition est assez évidente et une demonstration exacte entrainerait a des 
longueurs; voir fig. 16, pag. 43. Ensuite nous appellerons are interne l'arc défini 
en (2); la tangente double correspondante, tangente double de première espèce, et 
couple d'inflexion les deux points d'inflexion. 3 
Cela nous permet d’enoncer comme suit le théorème inverse de (2): 
Toutes les tangentes doubles d'une G* générale sans points doubles 
sont de la première espèce et tous ses points d’inflexion appartiennent à 
des couples d’inflexion: voir fig. 17, pag. 45. 
Ce théorème démontré, il est facile d'indiquer la construction générale d'une @* 
sans points doubles. On commence simplement par une courbe /' du second ordre et 
remplace des cordes de cette courbe (qui ne se coupent pas) par des arcs internes con- 
venablement choisis. 
Quant aux courbes ayant des points doubles, elles peuvent avoir des tangentes 
doubles qui ne sont pas de la première espèce, et des points d'inflexion qui ne font pas 
partie de couples d'inflexion. Un tel point d'inflexion s'appelle point d’inflexion isolé. 
Par un point double © d’une G* passent ou deux tangentes ayant 
leur point de contact en dehors de O ou aucune. 
Ce théorème se déduit du principe de correspondance appliqué aux points d’inter- 
section de la courbe avec des droites passant par O. 
1) Dans la suite nous nous servirons de ce mot dans un sens différent, voir page 84. 
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