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Un point double par lequel ne passe aucune tangente est dit point double 
de la premiere espèce; en cas contraire ce point est de deuxième espèce. 
Dans le théoréme ci-dessus chaque droite passant par un point de rebroussement 
est à considérer comme tangente. Il en résulte donc ceci 
Aucune G4 ne peut avoir plus de trois points de rebroussement. 
Tous les points doubles d’une G4 sont de même espèce, sauf le 
cas où il y a trois points doubles; auquel cas les points doubles ne sont pas 
nécessairement de la même espèce. 
Ce théorème se déduit de notre principe appliqué à la correspondance entre les 
points d'intersection M, et M,, différents de N, de la courbe avec les droites O0, M, O,M 
où O, et O, sont deux points doubles d'espèces différentes, et M un point variable de 
la courbe. 
Les courbes ayant trois points doubles ont rang à part dans la théorie. 
Pour étudier une courbe présentant un point double il est souvent utile de la 
considérer comme composée de deux branches communiquant au point double. On 
dit alors que ces deux branches sont correspondantes du point double. Voici 
comment on divise la courbe. On y fait cheminer un point à partir du point double et 
quand ce point mobile sera revenu pour la première fois au point double, il aura décrit 
l'une des branches. L'autre branche se définit de la même manière. 
Si la courbe à considérer présente plusieurs points doubles, la division en branches 
peut s'effectuer, comme ci-dessus, à partir de chacun de ces points doubles. 
Cette méthode ne conduit pas à une division unique, si les tangentes à un des 
points doubles coïncident. On ramène aisément ce cas à l’autre en déformant tant soit 
peu la courbe. i i 
Chaque branche est une courbe parfaitement continue sauf en un point saillant et 
elle est du second, du troisieme ou du quatriéme ordre. Est-elle du 3° ordre, nous avons 
une branche impaire; sinon, une branche paire. Il n'est pas nécessaire que les 
choses se passent de la méme maniére aux différents points doubles. 
Considérons actuellement les courbes G* qui, par rapport à l'un de leurs points 
doubles, peuvent se diviser en deux branches impaires. Toutes ces courbes seront du 
troisième type d’après notre classification ?). 
Une courbe G* du troisième type aura ou deux ou trois points 
doubles. 
Si l’on arrondit les deux branches @, et @, au point O auquel elles appartiennent, 
on obtient deux courbes de troisième ordre, complètement continues et se coupant mu- 
tuellement en un point au moins; mais elles ne pourront pas avoir d'autre point d'intersection. 
En effet, soit dans ce cas O et O, les deux points d’intersection; la droite OO, 
couperait alors la courbe complète @, + @, en six points, ce qui est contre l'hypothèse. 
Cependant, un troisième point double peut apparaître, si l'une des branches, mais 
une seulement, a elle-même un point double. 
1) Les numéros des théorèmes sont ceux du texte danois. 
2) Dans ce résumé j'ai préféré intervertir l'ordre des matières et mettre les courbes du troisième 
type avant celles du deuxième. ‘ 
