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Une G“ du troisième type à deux points doubles aura, en outre, 
quatre points d'inflexion isolés et elle n’aura pas d’autres singularités. 
Ces courbes se composent de deux branches dont on voit les formes, figures 21, 
23 et 24, page 56. Comme le point double auquel appartiennent les branches, est ou bien 
un point saillant de la deuxième espèce sur les deux branches, ou bien un point saillant de 
première espèce sur l'une de ces branches et de troisième espèce sur l’autre branche, le 
théorème (9) 24 nous montre que les deux branches auront en tout quatre points d'inflexion. 
Une G* composée de deux branches impaires ne peut pas avoir de tangente 
double, car celle-ci couperait la courbe en six points. 
Les seules formes possibles sont donc représentées par les figures 21, 22 et 23, 
page 56, provenant de la fusion des formes indiquées figs. 9, 10 et 11, page 39. 
Le cas spécial où un point double est en même temps un point d'inflexion, doit 
être considéré à part, tant ici que dans la suite. 
Une G# du troisième type, à trois points doubles, aura deux points 
d’inflexion isolés et ne présentera pas d’autres singularites. 
On le montre comme ci-dessus. 
Dans la recherche des formes il y a deux cas à considérer. Un point double 
est situé ou bien sur une boucle de la courbe composante de troisième ordre ou sur une 
branche impaire de cette même courbe. 
La discussion nous montre que les formes différentes (dans le sens projectif) sont 
exclusivement les cinq représentées figs. 24, 25, 26, page 58, et figures 27, 28, page 59. 
Ayant maintenant épuisé toutes les courbes de quatrième ordre composées de deux 
branches impaires, il ne nous reste que les courbes dont toutes les branches sont paires. 
En examinant, par ex., les figures 24 et 27, on voit que les points doubles des 
courbes du troisième type ne sont pas nécessairement de la même espèce. Pour les 
courbes en question nous avons au contraire le théorème suivant: 
Tous les points doubles d’une courbe de quatrième ordre dont 
toutes les branches sont paires, sont nécessairement de la même espèce. 
D'après le théorème (5) il suffit de considérer le cas où la courbe n’a que trois 
points doubles. 
Soient G, et @, les deux branches appartenant à un point double A d'espèce 
arbitraire, soit B un autre point double de la première espèce et C un point double de 
deuxième espèce. 
Le point B doit être ou un point double sur l’une des branches, soit sur G,, 
ou un point d’intersection entre G, et @,. Mais nous pourrons démontrer que le premier 
cas est impossible. BD étant de première espèce, aucune tangente à @, ne passe par B; 
donc toute droite passant par B coupera la courbe @, au même nombre de points et, 
dans le cas présent où @, est paire, ce nombre doit être égal à deux; mais la tangente 
ta @, en B, y couperait G, en trois points qui se confondraient si B était un point 
double sur @,, et la courbe @, + @, en cinq points au moins, ce qui est impossible. 
Mais le troisième point double C doit de même être un point d'intersection avec G, et 
G,, car autrement la droite BC couperait G, + G, en six points au moins, ce qui est 
contre l'hypothèse. 
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