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Mais C est de deuxième espèce: par: C passe donc une tangente ayant son point 
de contact avec, par ex., G, en dehors de C; cette droite couperait alors la courbe 
G,+G, en cing points au moins, ce qui est encore impossible. 
Dans ce qui suit nous avons donc à nous occuper uniquement des courbes dont 
les branches sont paires et dont tous les points doubles sont de méme espece. Si tous 
ces points sont de premiere espece, on a les courbes que nous avons classées dans le 
deuxiéme type. 
Une courbe G* du deuxième type a autant de tangentes doubles de 
la deuxième espèce que de points doubles et, en outre, un nombre arbi- 
traire de tangentes doubles de première espèce avec leurs couples d’in- 
flexion correspondants, voir fig. 18, pag. 49, et fig. 19, pag. 51. 
Si, en un point double O, on divise la courbe en deux branches G, et @,, il suit 
de la démonstration du théorème précédent, que tous les autres points doubles seront des 
points d'intersection entre G, et G,, ces dernières étant alors sans points doubles. 
En outre, il est aisé de démontrer que les deux tangentes au point O couperont 
toutes deux une des deux branches appartenant à © et la même branche. | Celle que 
coupent les deux tangentes est dite branche extérieure; l’autre est la branche intérieure. 
Alors on verra que le point O sera saillant de la premiére espéce sur la branche extérieure 
et de la troisième espèce sur la branche intérieure. Connaissant alors la déformation 
causée dans les deux branches par un arrondissement en ©, on voit que le théorème est 
une conséquence du théorème fondamental (3) des courbes générales sans point double. 
Le dénombrement direct montre maintenant que la relation (10) entre les singu- 
larités est justifiée pour les courbes du deuxième type. 
Quant à la forme des courbes, celles qui ont un point double unique, sont à 
considérer à part. Dans ce cas la forme ne différera pas essentiellement, sauf les couples 
d’inflexion, de la forme connue d'une cardoide de Pascal; voir figure 18, page 49. 
On obtient toutes les courbes de quatrième ordre et du deuxième type ayant 
plusieurs points doubles, par la construction suivante qui est tout à fait générale: voir 
figure 19, page 51. 
Sur une courbe /'de second ordre on prend 4n +2 points A, B, A,, B,,..., Aon, Ban 
se succédant dans cet ordre sur J: On trace alors la courbe G* de Bo, à A le long 
de I"; puis de À à B, le long d'un arc élémentaire; puis de B, à A, le long de 7; etc., 
de manière que la courbe tracée soit partout complètement continue. Sur les ares Bo, A, 
B,A,... de G qui font partie de 7; on peut ajouter des couples d’inflexion convenable- 
ment choisis en nombre arbitraire. De la construction même on déduit que 
Le nombre des points doubles d'une courbe du deuxième type est 
toujours impair. 
Les formes des courbes qui ont des points de rebroussement, se déduisent des 
formes plus générales en déformant un peu la figure, artifice suffisamment expliqué 
par la figure 20, page 54. 
On voit par le théorème (4) qu'une courbe du deuxième type aura, 
au plus, un point de rebroussement et que, dans ce cas, la courbe 
ne peut avoir aucun point double. 
