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Sans infirmer la généralité, on peut toujours, à l’aide d'une transformation projec- 
tive, faire en sorte que la courbe soit toute entière à distance finie. 
Il ne reste plus que les courbes dont toutes les branches sont paires et dont 
tous les points doubles sont de la deuxième espèce. Dans notre classification, ces 
courbes sont du quatrième type. 
La différence la plus caractéristique et manifeste entre ces courbes et celles du 
type précèdent consiste en ce que dans l'un et l'autre cas les points doubles jouent des 
roles différents par rapport à deux branches complémentaires. Partageons une courbe 
du type considéré en deux branches complémentaires G, et @,; alors chaque point 
double de G, + G,, outre le point O correspondant, sera un point double soit de @, soit 
de G, et, à part ces points, @, et G, ne se rencontreront qu'au point V. En effet, 
dans le cas contraire, par un point d'intersection de @, avec @, passerait une tangente 
à la courbe qui couperait celle-ci en plus de quatre points. (Dans les courbes du type 
précédent, toute branche était sans point double.) 
En outre, ces courbes auront toujours des boucles, ce qui n'est généralement 
pas le cas pour les types précédents. Par boucle on entend une branche ne contenant 
pas d'autre point double que celui auquel elle appartient. 
Par un point double ne passe qu'une seule tangente à toute 
boucle qui n'appartient pas à ©. 
Pour démontrer ce théorème on considère la correspondance entre les points 
d’intersection de la boucle (O,) avec des droites passant par O. Dans cette correspon- 
dance il y aura deux points correspondants qui se confondront et l'un de ces points sera 
le point O,. En effet, la droite OO, sera, comme on le prouve aisément, une tangente 
impropre à (O,). 
Une courbe de quatrième ordre a trois boucles au plus. 
Pour les courbes du quatrième type, ce théorème résulte de la proposition précé- 
dente combinée avec le théorème (4); un coup d'œil sur les types précédents convaincra 
que le fait est général. 
Une courbe G4 du quatrième type aura deux boucles au moins. 
Si la courbe n'a qu'un point double, le théorème est évident. S'il y en a plusieurs, 
faisons parcourir au point M l’une des branches, soit @,, appartenant au point double O. 
Si @, west pas une boucle, le point mobile aura passé deux fois par un autre point 
double. Il en résulte que le nombre des points doubles situés sur une des branches 
appartenant à O, sera au plus égal au nombre des points doubles de @,, moins un. En 
continuant de la sorte avec G, et @, on obtient au moins deux boucles. 
Deux boucles (O,) et (0,) appartenant à différents points doubles, 
n'auront qu'une tangente commune. 
Il est aisé de démontrer que par chaque point M de (O,) passe une seule tangente 
(propre) à (O,) et l'on pourra alors appliquer notre principe à la correspondance entre les 
points M et P auxquels (O,) est coupé par une tangente à (0,). Il y aura donc deux points 
correspondants qui se confondront, mais l'un d'eux correspondra à une tangente à (0,) 
passant par O,. 
Si par un point double O passent une ou deux tangentes à l’une 
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