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des deux branches correspondant à O, ou s’il n'y passe aucune tangente, 
cette méme branche sera coupée en dehors de O par une ou deux 
tangentes en O ou par aucune. 
C'est ce que résulte de la discussion de la figure. 
Deux branches complémentaires auront toujours deux tangentes 
communes et deux seulement. 
Pour démontrer cette proposition, il faut d’abord établir que par chaque point de 
l'une des branches @, il passe toujours deux tangentes à l’autre branche @,, y compris 
les tangentes impropres éventuelles. Puis on prouvera aisément que, chose assez curieuse, 
notre principe s'applique à la correspondance entre les points d’intersection de G, avec 
les tangentes à @,. On trouve ainsi quatre points correspondants qui se confondent; 
mais deux de ces points correspondent aux tangentes issues de ©. Il y aura done 
seulement deux tangentes propres communes. 
Sur une boucle il y a une ou deux inflexions isolées ou aucune, 
selon que parle point saillant de la boucle passent une ou deux tan- 
gentes à la boucle ou aucune. 
On le montre en arrondissant le point saillant. 
Nous voici à même de classer toutes les formes des courbes du quatrième type, 
qui comprend deux sous-types, suivant que la courbe a trois boucles ou deux seulement. 
Une courbe de quatrième ordre à trois boucles a, en fait de singu- 
larités, trois points doubles, trois tangentes doubles de deuxième 
espèce et, en outre, un nombre arbitraire de tangentes doubles de pre- 
mière espèce avec les inflexions correspondantes et celles-ci seront 
toutes situées sur les boucles. 
Un quatrième point double est impossible d'après les théorèmes (4) et (15). Les 
tangentes doubles de deuxième espèce seront les tangentes communes à deux boucles 
(voir (18)) et il n'y en a pas d’autres d'après (20). De plus le théorème (21) nous montre 
qu'il n'y a d'inflexion isolée sur aucune des boucles. Ayant démontré que dans chacune 
des boucles le point double sera un point saillant de troisième espèce, on n'aura pas 
de peine à prouver que la courbe se compose de trois boucles et de trois arcs élémen- 
taires. Alors le théorème devient évident et la forme de la courbe est arrêtée, voir 
fig. 30, page 67. 
Si le nombre de couples d’inflexion est >», le nombre des tangentes doubles sera 
r—-3, le nombre d'inflexions 27 et le nombre des points doubles 3. La relation (10) est 
donc justifiée. 
Les boucles pourront s’evanouir et donner naissance à des points de rebrousse- 
ment. Par suite 
Quand une courbe G4 a son nombre maximum de points de re- 
broussement, ils sont tous de premiere espèce et la courbe n’aura pas 
d'autre singularité. 
Une courbe de quatrième ordre ne peut avoir qu'un point triple. Sauf un nombre 
arbitraire de couples d'inflexion, les seules formes possibles sont les deux que représentent 
les figures 29, page 60, et 31, page 69. 
