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Quant aux courbes à deux boucles, il faut considérer à part les formes n'ayant 
qu'un seul point double. 
Une courbe de quatrième ordre à point double unique de deuxième 
espéce, aura, outre les couples d’inflexion et les tangentes doubles 
correspondantes, deux inflexions isolées et deux tangentes doubles 
de deuxième espèce. 
C’est là une conséquence des théorèmes (19) og (20). 
Sauf les couples d’inflexion, les seules formes seront donc les deux que repré- 
sentent figures 32, 33, page 69. Ce qui les distingue entre elles, c'est que les deux 
points d'inflexion isolés, figure 32, sont situés tous les deux sur une même boucle et, 
figure 33, chacun sur sa boucle. 
On voit immédiatement que la relation générale (10) est justifiée. 
Reste encore à considérer les courbes à deux boucles et à plusieurs points doubles. 
Soient O,,0,,..., On les points doubles se succédant dans cet ordre sur un arc 
déterminé (0,0,) de la courbe. Faisant une nomenclature distincte de la précédente, nous 
appellerons (O,) et (0:41) les deux boucles en question. 
Si maintenant on détache de la courbe donnée la boucle (O,), il reste, pour n > 2, 
une courbe du quatrième type qui aura, comme la courbe primitive, deux boucles, dont 
l'une est (0,44); l’autre sera une boucle (O,) à deux points saillants et que nous dirons 
impropre. En poursuivant ainsi, l’on voit que la courbe peut être regardée comme 
composée de n +1 boucles, dont deux seront propres (ayant un seul point saillant) et 
les autres impropres. Nous disons que (O,) appartient à O,, (O,) à O, et ainsi de suite. 
Dès lors on n’a pas de peine à démontrer que 
Une droite joignant deux points doubles sera une tangente impropre 
à chacune des boucles appartenant à ces points. 
Un point double sera un point saillant de deuxième espèce sur 
chacune des boucles impropres, sauf dans le eas où le point double est 
également situé sur une boucle propre, car alors le point sera saillant ou 
de deuxième espèce ou de première. 
Une courbe de quatrième ordre à deux boucles, aura toujours, ni plus 
ni moins, deux points d’inflexion isolés, situés sur les boucles soit propres, 
soit impropres et voisines des propres. Aucune boucle, tant propre qu'im- 
propre, ne peut contenir plus d’un seul point d’inflexion isolé, sinon n— 2. 
On démontre ce dernier théorème en détachant de la courbe toutes les boucles 
exceplé (O,) et (O,). Si l'on arrondit ensuite le point saillant en O,, on obtient une 
courbe de même type à un seul point double. Alors on combine la boucle (O,) avec la 
suivante (O,); on arrondit en O, et en O, etc.; enfin on applique à toutes ces courbes 
les théorèmes (24) et (26) et l’on en tire le théorème susdit. 
Une courbe @* à deux boucles et à plusieurs points doubles, n’aura 
pas d’autres tangentes doubles de la deuxième espèce que la tangente com- 
mune aux deux boucles propres et les tangentes doubles ayant leurs points 
de contact sur deux boucles voisines. A chaque paire de boucles voisines 
correspond une seule de ces tangentes doubles. 
D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. X. 1. 12 
(24) 
(25) 
(26) 
(27) 
(28) 
