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Ce théorème se démontre comme le précédent. 
Considérons la courbe formée de deux boucles voisines (O,) et (0544) et arron- 
dissons les points saillants en Os et Os41. 
Alors on a une @* du même type à un point double, qui aura deux tangentes 
doubles de la deuxième espèce. Mais si lon supprime l'arrondissement, l'une de ces 
tangentes doubles disparaîtra en coincidant avec la droite O,— Osy1: voir (25). Tl n'y a 
pas d'autres tangentes doubles de la deuxième espèce que celles trouvées de la manière 
indiquée. C’est ce qui résulle du théorème (20). 
Si la courbe a x points doubles et 7» couples d’inflexion, le nombre total des 
tangentes doubles sera, d’après ce théorème, » + n—+ 1, tandis que le nombre d'inflexions 
sera 27 + 2, d'après (27). La relation (10) est donc aussi justifiée par les nombres de 
singularités des courbes de ce dernier type. 
Quant aux formes des courbes, celles qui ont deux points doubles sont à con- 
sidérer à part. 
On a trois formes différentes suivant que les deux points d'inflexion isolés sont 
situés ou tous deux sur la boucle impropre, ou bien l'un sur celle-ci, l'autre sur une 
boucle propre, ou enfin un des deux points d'inflexion isolés sur chacune des boucles 
propres. 
De ces courbes dont les formes ne différent pas beaucoup entre elles, on ne 
donne que la première en figure 34, page 73, car elle contient le cas le plus intéressant, 
comme représentant la seule courbe du quatrième ordre qui ait deux points d’inflexion 
isolés situés sur une même boucle. 
Pour tracer les courbes à n points doubles où n > 2, on se sert du théorème suivant. 
Si l’on a projeté la courbe de manière à ce qu'elle ne s'étende pas à 
l'infini, ce qui est toujours possible, les points doubles consécutifs forme- 
ront un polygone convexe et toute la courbe sera située dans les triangles 
formés par un eöte du polygone et les prolongements des deux côtés voisins. 
Voilà donc bien définie la manière de tracer les courbes dont les formes, diffé- 
rentes d'après notre système de classification, sont données figs. 35, 36 et 37, page 74, 
pour n= 4, 5, 3. 
Nous ajouterons que les courbes à points de rebroussement, voir figure 20, page 54, 
sont comprises, comme cas limites, dans les formes plus générales. 
On voit aussi qu'aucune courbe de quatrième ordre ne peut avoir 
plus de deux points de rebroussement de deuxième espèce. 
Mais elle pourrait avoir un nombre arbitraire de points d’embrassement. 
