4 



11 



Betegnes en vilkaarlig Divisor ved d, saa vil ogsaa -y være en Divisor, som vil 

 være forskjellig fra d, undtagen naar n er et Kvadrattal og d — ]/n. Heraf følger, at naar 

 man opskriver samtlige Divisorer efter deres Størrelse, saa vil der for hver Divisor < |/h 

 findes en tilsvarende > Vn, og Antallet af Divisorer, som ere lig eller mindre end Vn , 

 vil altsaa være 



!(«+ t)(ß+ i)( r + d... , 



undtagen naar n er et Kvadrattal, da selve Vn ogsaa bliver en Divisor, i hvilket Tilfælde 

 Antallet bliver 



i(«+iH/?+D(r+ !)... + >. 



Betegner man overhovedet Antallet af Divisorer i n op til Grænsen iw (inklusive) 

 ved D M [m), saa haves 



Z? nW + Z? n (^=P B(nl (1) 



\wt/ ( i> n |») -f 1, hvis ?« er Divisor i », 



hvilket indses umiddelbart, naar man opskriver samtlige Divisorer i to Rækker under hin- 

 anden, den ene Gang efter voxende, den anden Gang efter aftagende Størrelse. 



En anden simpel Relation faas ved i Produktet P at dele en af Faktorerne, f. Ex. 

 den første, i to eller flere Dele saaledes: 



(i 4- 2 -f . . 2* + . . . 2 a ) = (l + 2 + . . 2*j 4- 2 x+l (i + 2 + . . 2*-*- 1 ) . 



Betegnes Produktet af de øvrige Faktorer i P ved Q, saa faas alle Divisorerne som Led i 

 de to Produkter 



(1 +2 -f ..2*1 Q og (l -f 2 + ..2 a -*-') Q.2 x+i . 



De første ere Divisorerne i 2*. 3 /J . .V. .. , de sidste ere Divisorerne i 2 a ~ x ~ x . Z@ . b?.. . , 

 hver især multiplicerede med 2*+'. Søger man altsaa Antallet af Divisorer i n op til en 

 vis Grænse m < w, saa kan man først sø.i:e \ntallet af Divisorer i 2 X . 3 /J . b? . . . op til m 

 og derefter Antallet af Divisorer i 2 a ~~ x ~ x . W. b? . . . op til ^ej- Det er unødvendigt at 

 opholde sig ved, hvorledes en yderligere Deling kan ske. 



Disse elementære Reduktioner, som her umiddelbart frembyde sig, lade sig imid- 

 lertid ogsaa anvende i nogle andre Tilfælde. 



Betegner man ved Å(æ) eller Å x almindelig et Tal, som er — 1 eller -j- 1, eftersom 

 det hele Tal a- er sammensat af et ulige eller lige Antal Primfaktorer, saaledes at altsaa 



k(2 a .$P.&...) = (— ty+ß+r—, 

 saa bliver altid X[x) . ?,(y) = k{xy), altsaa ogsaa, naar d er Divisor i n, 



eller da (Å(d)) 2 = + 1, 



