< 



Betegnes nu ved .(„(»<) Summen af de k, der svare til alle de Divisorer i n, som 

 ere lig eller mindre end »«, saa faas, naar m ikke er Divisor i «, 



A«(m) + X(n) . AnC-^j = A n (n) . (2) 



Er derimod m Divisor i n, saa bliver 



An(m) + k(n)A n (~\ = .!„(«) + J(m) • (2') 



Tor selve .1» faas strax et simpelt Udtryk ved i (2) at danne Produktet analogt med P: 

 F = (i_| + i... + (-l ) *).(l-|...-H-l)/ J ).(l-l... + (-l)>')... , 



hvilket Produkt, naar Multiplikationen udfores Led for Led, netop vil give Summen af alle 



À, svarende til Divisorerne i n. Alen hver enkelt Faktor i P' forsvinder, naar ikke Antallet 



af dens Led er ulige, altsaa den sidste Exponent lige, i hvilket Fald den reduceres til 1. 



Heraf folger, at 



. („(;,) = o, undtagen naar n er et Kvadrattal, 



A n (n) = 1 , naar n er et Kvadrattal. 

 almindelig kan man skrive 



d + i-n«) (i + (-pi) [i + [-m ,,. 



.InW — g 2 2 ■ " ' 



Af (2) og (2') faas 



A a [Vn) (I +i(n)) = 4,(n), H) 



undtagen naar n er et Kvadrattal, da 



,j„(V«) = |U(«] + iiN. ('«') 



('i'l hestemmer altid ./„(l-Vl, medens (4) kun gjor det, naar k(n) er + 1 ; for Å(n) = — 1 

 viser Ligningen (4) kun, at A„{n) = 0, som før fundet, medens Å(n) = + 1 giver A (l/w ) = 0. 



Lignende Betragtninger kunne anstilles over Tallene (i(x), som kun adskille sig ira 

 k(x) ved at være 0, naar x indeholder en kvadratisk Faktor, for disse haves som bekjendl 

 altid Sft(d) = 0, naar Summationen udstrækkes til alle Divisorer i Tallet n, og n~> 1. For 

 at kunne anvende den samme Fremgangsmaade som før, maatte man dog her antage 

 Exponenterne a, ft, y... = 1 (eller 0). 



Mere Udbytte har man af at danne symmetriske Funktioner, hvori indgaa Loga- 



rithmer af Divisorerne i n. Opskriver man f. Ex. Rækkerne — idet vi her som oftere i 



det følgende exempelvis antage n sammensat af tilstrækkelig høje Potenser af de forste 



Primtal — 



Sid = l. I + l. 2 + I.Z + 1.1 + 1. £> + ... + &+ In 



sid = z^+ 1« + q + ij+ij+ .. . + 1.2 + 1. 1, 



saa' ses først, at _ 



2 Sid = D n (n).ln, 



