For s > t blive Udirykkene mere sammensatte ok f'aa kun nogen Værdi for specielle Til 

 fælde, exempehis skal blot anføres 



S/t[d){ld^ = I-I)'. '' 2 " ( * 9 + ]) la. Ib. le... (la + Ib + le.) , 



1.2 



(9) 



±' /t (d)(ld)<+* = (-l)'.1.2..(«+2) Ja. Ib. le. ..Y^^I+^Ä). (10) 



Disse Resultater kunne umiddelbart overføres paa Tal, som indebolde højere Po- 

 tenser af de enkelte Primfaktorer, og navnlig bemærkes, at for et Tal , som er sammensat 

 af l Potenser af forskjellige Primtal, er altid 



2p (d) (Id) 1 = (— 1 )' . 1 . 2 . . . t . la . Ib . le . . . , \ 

 men 2/i(d) (Id)' = 0, for s<£, * positiv bel , ) 



et Resultat, vi senere faa Anvendelse for. 



II. 



Ved Hjælp af de foregaaende Sætninger ville vi nu søge at bestemme Antallet af 

 Tal op til en vilkaarlig valgt Grænse, som ere sammensatte af Potenser af visse bestemte 

 opgivne Primtal. Som Repræsentanter for disse vælge vi de første i Talrækken , altsaa 

 2, 3, 5 o. s. v. Det vil umiddelbart indses, at de uden videre kunne ombyttes med andre 

 i de efterfølgende Formler. De Tal, vi betragte, ere altsaa af Formen 2"3*5 C ... , hvor 

 nogle af Exponenterne kunne være ; de ere allesammen Divisorer i et Tal p af samme 

 Form, hvis Exponenter ere valgte tilstra'kkelig høje. Antallet af saadanne Tal op til Grænsen 

 n — denne inklusive — betegne vi ved N(n) , eller hvor der er Grund til at fremhæve 

 Primfaktorerne, som indgaa i dem, ved N 2 , 3, s...(n). 



Samtlige Tal af den givne Art, vi betegne dem ved x, ere altsaa indbefattede i 

 dem, vi faa ved at multiplicere de uendelige Rækker: 



R 2 = 1 + 2 + 2 2 + 2 a + . . . , 

 R, = 1 + 3 + r- + 3 3 + . . . , 

 R b = I-}- 5 -1-5* -f-5 3 + ... o.s.v. 



Da der ikke er Tale om nogen virkelig Summation men kun om Betragtning af de 

 enkelte Led, behøves der naturligvis ikke at tages Hensyn til, at deres Sum er uendelig. 



Hvis man vilde afbryde disse Rækker paa vilkaarlige Steder og altsaa f. Ex. danne 

 Produktet 



P = (1 -L 2 + . . 2«) (1 + 3 + . . 3^) (l + 5 + . . 5H . . . , 



