22 



III. 



Vi gau dernæst over til Undersøgelsen af, om lignende Fremgangsmaader kunne 

 anvendes ved Bestemmelsen af Funktionell 2'/|.n, hvor x belegner et Tal. der er sammensat 

 af visse bestemte Primtal, og X bar den tidligere angivne Betydning. \i betegne denne 

 Sum udstrakt til alle Tal af den bestemte Form, vi til enhver Tid betragte, og som ere 

 <>, ved L\u), medens som før A P (n) kun betegner Summen al' de /. sum svare til Divi- 

 sorerne i et vist givet Tal p, forsaavidl disse ere < «. I>e givne Primtal være 2, 3, 5.. . 



De forskjellige / blive da Koefficienterne i det udviklede Produkt 



(1-2 + 2-.. .+ (-2i -H-2r H ...)(l-3 + 3*...-H— 3)^+ (-3l' î+l + ...) (1-5+ ...) 

 b\is enkelte Faktorer \i tor Kortbeds Skyld betegne ved R 2 , R ô o. s. v. Saa ses, at man 

 identisk bar 



R, R, R 6 ... (1 - l-2) a + 1 j (l - i- 3)< J +<) (1 - (- 5F+ 1 ) . . . 

 = (1-2 + 2*. . . + (-2) a )(l -3 + 3*. .. + (-3V s )(l -5 + 0* + .. .(— {,/)... , 



forsaavidl man kun betragter de to Rækker med Hensyn til de enkelte Ked, som fore- 

 komme i dem. 



Venstre Side skrives hensigtsmæssigere under Formen 

 R,R 3 R b ...{i + (_i)«2 a+1 )(l +(_!)/? 3/ J + , )(l +(- [fST 



Hl 



Af denne Omskrivning faa vi nu følgende Sætning. Betegnes ved p Produktet 

 2° '■'>'' W . . . , saa er for et vilkaarligt n 



-H-l)°+^( y+ ,/ +|y+ , )...-.W. (361 



Er speciell « = ß = y... = 0, faas 



iW+ L(j) +i 0) + ... + i (^) + i ( Ä )... + i ( r ^)... = 1 , ,37, 



idet der i Nævnerne kun indgaar Produkter af te og l s,e Potenser af alle de Primtal, som 

 ere Faktorer i de sammensatte Tal p, \i betragte. 



Ligningen (36) er ganske analog med (121, den tilsvarende for N, og kan anvendes 

 ligesom denne. 



Navnlig bemærkes, at for p <n er A p (n) = eller 1, eftersom p er et Kvadrattal 

 eller ikke. Er n = \/p og selv et Kvadrattal, faas 



A P (n) = tf4ip)+ 1) = I- 



