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Études de quelques fonctions numériques. 



Par J. P. Cram. 



.Le mémoire qui précède a pour objet la recherche des propriétés de quelques fonctions 

 élémentaires qui se présentent dans la théorie des nombres , et qui sont assez simples 

 pour qu'on puisse conduire cette recherche relativement loin, en même temps qu'elles 

 donnent de bons exemples des propriétés particulières de toutes les fonctions de la même 

 espèce. Je considère principalement les nombres qui sont composés seulement de deux 

 ou trois facteurs premiers donnés ou de puissances de ceux-ci. Comme types je [trends 

 les nombres de la forme 2™ 3^ ou 2 a %ßtf, mais on peut, sans différence essentielle, 

 substituer à 2, 3, 5 d'autres facteurs premiers. 



Je désigne par A 7 (h) la totalité de ces nombres jusqu'à une limite donnée, n, et par 

 Un) la somme de leurs À, en posant avec Liou ville' k(n) égal à ±1 suivant que n est 

 composé d'un nombre pair ou impair de facteurs premiers, de manière à avoir 



X[2 a %ß&...\ = [—if+ß+r—. 



Ce sont les fonctions N et L qui sont discutées dans ce mémoire. 



I. 



Comme préparation sont développés quelques théorèmes sur les diviseurs d'un 

 nombre entier donné n. 



Soit n = 2 a zPbr..., on a alors D n (n) = |«+ 1) ß+ 1) (;-+ 1) . .. diviseurs. A un 

 diviseur d en correspond un autre , d'où il suit que le nombre des diviseurs plus grands 

 que a est le même que le nombre de ceux qui sont plus petits que - . Par celte raison 

 on a l'identité 



B n (m) 4- DJ-) = D n (n) 4- s , (voir I) 



où £ est généralement nul, excepté seulement dans le cas où m divise ». L> n {m) désigne 

 le nombre des diviseurs de n jusqu'il la limite m inclusivement. 



