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Od a également À{d) À (~\ = X(n), ou / (~\ = Å(n).Å{d), el si l'on désigne 

 par A„(m) la somme I),(d) étendue à tous les diviseurs de n depuis I jusqu'à m, on pourra 



poser . , , . , ( n \ 



A„{m) + X[n)A n I — 1 = A„(n) + s . Å(m) , (voir 2) 



où s est nul excepté quand m divise n, s étant alors égal à 1. Pour A a (n), on obtient la 

 valeur 1 ou suivant que n est ou non un carré. 



On trouve^ facilement I) n []/n) à l'aide de l'équation (1), de même que l'équation (i) 

 montre que A„\Vn) = quand /(m) = + 1 et « n'es! pas un carré. 



Des considérations tout à fait analogues peuvent être appliquées à la somme des 

 logarithmes des diviseurs, Ild, et à la fonction HÀ(d)ld. Je renverrai pour les résultats 

 aux équations (5), (6), (7). Enfin il faut remarquer quelques équations renfermant les 

 coefficients fi {as), qui deviennent nuls quand m contient un facteur carré; dans tous les 

 autres cas, u(x) = X(x). 



On a toujours Z/i(d) = {) pour les diviseurs d'un nombre entier quelconque n plus 

 grand que 1. On peul également chercher les valeurs de 



2fi(d)ld, Sfi(d)(ld) i , etc. 



en comparant les coefficients des développements des deux membres de l'identité 



Il — a*) (1 — b*) (1 — c*) . . . = 2>((f)</ J ' , 

 ou la sommation s'étend à tous les diviseurs d'un nombre entier composé des facteurs 

 premiers «, b, c... . On trouve ainsi îles résultais importants exprimés par les formules 

 suivantes 



2>( ( /)(W) ( = |— 1)M .2 ....t. la.lb . le... , | 



2fi{d)(ldY = 0, s<t, | 



ou s est supposé entier et t exprime le nombre des facteurs premiers différents «, h, c... 

 qui entrent dans le nombre considéré. 



II. 



Les diviseurs de p = 2 a 3 /S 5 /î ... sont les termes qu'on obtient en développant 

 le produit 



Il + 2 -f . . . 2«) (1 + 3 + . . . 3< J ) (1 +5 + ... br) ... . 



Remplaçons le fadeur II -f 2 + ---2 a ) par 



(l -2 a +')(l +2 + 2 2 + ...) (à l'infini), 

 et ainsi de suite pour les autres facteurs. Alors en remarquant que les termes du pro- 

 duit infini 



(l+2 + 2 2 ...)(l+3 + 3 2 ...l(l -f 5 + 6"..), 



qui ne sont pas plus grands que h, sont précisément au nombre de N i36 ...{n), on trouve 

 l'équation suivante 



