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4M = m - *fa) - -v( ;) ;V,) - .v( v :,) . . . + "(fffc,} ■ ■ 



*(ff^ 



(12) 



Si a == ß == y . . . = 0, l'équation se réduit à la forme (13) ou (13'). Au reste 

 (12) contient comme cas spéciaux plusieurs formules bien connues. Si l'on y fait entrer 

 toute la série des nombres premiers 2, 3, 5..., ./Vest remplacé par le symbole E de 

 Legendre et on a une nouvelle expression pour le nombre des diviseurs de 2 a .3*.5?'... 

 qui ne sont pas plus grands que n (voyez (14)). 



Quand on se borne à un petit nombre de facteurs premiers différents, par exemple 

 2 et 3, (12) donne une formule importante de réduction qui permet de trouver immédia- 

 tement A' 2a (l 2" 3^) lorsque 2 a 3' s sont des puissances consécutives de 2 et de 3, les puis- 

 sances de ces nombres étant ordonnées suivant leur grandeur (voyez (18)). Généralement 

 il faut, en premier lieu, choisir les exposants a et ß de manière que D p (n) puisse être 

 trouvé ou directement ou par (11, et en outre avoir soin de prendre a et ß aussi grands 

 que possible. 



Alors on pourra toujours, à l'aide des formules 



et D p (n) = [a + 1) (ß + 1) - D p ft\ + p , (27) 



calculer successivement N i3 {ri). Le plus simple sera de choisir a et ß de manière que 



a t 



2 a et 3' J soient tous deux à peu près égaux à ir ; on aura dans ce cas 



N( 



n) = (a+l)lß+i) + N^ + N(^-N(^y p , ,28, 



p = 1 quand n divise 2 a 3^, en d'autres cas p = 0. Chacun des arguments à droite 

 est alors presque égal à « 3 . 



Quand n est de la forme n = 2 a 3^, on a 



N\%»tf) = iV(2°) + N[V 3 ) + aß — 1. 

 De là il suit qu'on a en général 



N\î«tf) = 2aß + a + ß+\ + N^-^+N^-Y (25 p. 12) 



où au moins un des deux derniers termes à droite est nul. Quand 2" et 3" sont des 

 puissances consécutives, ces deux termes disparaissent. 



On parvient à la formule (25) en cherchant la correction qui doit être appliquée 

 à D n \2 a ) ou à Z>„(3' 5 ) pour obtenir N 23 (2 r '\ ou iV 23 (3^); comme résultat secondaire, on 



xl2 



trouve la formule (21'). L'équation identique N(2 X )— N(2 T - { ) = l -\- E-pr- et d'autres 



équations analogues fournissent un moyen simple pour calculer les N correspondant à des 

 puissances de 2 et 3, comme le montre la petite table p. 13. 



