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NI. 



On peut appliquer à la fonction L(n) des raisonnements tout à fait analogues à 

 eeux qui précèdent. Au lieu de (12) on obtient ici l'identité 



/,„> + 1- ir^) + (- »<%-£,)+ -+ 1- "" + ^-(,.t^+7) •••+ 



+ ,_ n .+W r /,^__A__y .. _ ,,,„„, (p _ j-./ijr...) (36| 



qui pour « = ß = y = se réduit à (37). 



Comme toute autre fonction numérique, L(n) peut être développée en série suivant 



(ii \ ii 



-1. On obtient eette série au moven de la série connue Su x E— = I (x-= 1,2.. ri). 

 .r ) • r a; 



Elle se présente sous une forme qui, après quelques réductions, devient 



L(n) ="^'e !l .2 x E~ , (voir 39) 



v=i y 



x désigne ici le nombre des facteurs premiers différents <\e.p qui entrent dans?/; e y =— 1, 0, +1, 

 et en décomposant chaque nombre entier y en facteurs dont l'un Ç seulement contient les 

 nombres premiers 2, 3, 5... que nous avons pris comme bases, et l'autre facteur y est 

 égal à y : f, on obtient 



s, = /cfø)4(£). 



On peut aussi exprimer /> au moyen de A' par la formule (40), dans laquelle d 

 désigne les diviseurs de n. 



Pour L. i3 on a l'équation fondamentale 



L(„) + z(!) + z(!) + i(!) = l, (43) 



qui diffère de celle de A 7 îa seulement par les signes des deux termes L I — ) et /,(-). 



Plus générale est la formule (44). De celle-ci il suit, quand 2 a et 3* sont des puissances 

 consécutives, que 



L i 2 *zß) = I ° pour (a + # impair 1 



\ I pour (« + /?) pair ) 



;46) 



Pour d'antres valeurs de 2 a et 3^ on a en général 



qui correspond à (25); on trouve une expression analogue pour L(l/2 a 3*). 



On voit par là que, quelque grandes que soient les valeurs de u, il y en a toujours 

 quelques-unes qui rendent />(«) égal à zéro. Cette fonction ne peut donc croître à l'infini, 

 mais oscille en réalité autour de zéro et on peut immédiatement indiquer les limites de 

 ses oscillations au moyen des A' correspondants. Soit L(a) = (t et Z(6) = 0, alors L(n), 

 pour a<;«<6, ne peut différer de zéro que d'une quantité inférieure à l(N{b) — A'(a)). 



