288 4 



til Erlivervelse af Doktorgraden, sinkedes ved Krigen og Kommunen, saa det først udkom i 

 Slutningen af 1871 ('). 



Uden at vide noget om Ma i li ard 's netop udkomne Arbejde gav jeg mig i Januar 

 1872 ifærd med den samme Opgave, denne Gang med mere Held, end naar jeg tidligere 

 havde forsøgt det, og jeg kunde i Februar sende Resultaterne til Chasles, som, uagtet han 

 selvfølgelig kjendte Ma i Hard 's Afhandling, strax lod mine Meddelelser indrykke i Comptes 

 rendus ic), paa Grund af den Betydning, flere Løsninger af denne Opgave kunde have med 

 Hensyn til Løsningen af de tilsvarende Opgaver vedrørende Kurver af fjerde Orden. 

 Paa disses Behandling begyndte jeg dernæst, og det ikke alene paa Grund af Resul- 

 taternes før omtalte Betydning. Undersøgelsen af Kurverne af tredie Orden havde nemlig 

 vist mig, hvilken Betydning det har for en fuldstændig Opfattelse af plane Kur- 

 vers Særegenheder at se, hvorledes de blive til i et System af Kurver med en 

 variabel Parameter, samt at Bestemmelsen af Karakterisliker, ved hvilken de særegne Kurver, 

 deriblandt ogsaa saadanne, som have Mangefoldsgrene, spille en Hovedrolle (^), giver et 

 godt Middel til at finde og prøve Egenskaberne ved disse Kurver, samt til at sikre sig 

 mod at glemme nogen særegen Kurve. Med dette Kjendskab til de særegne Kurver følger 

 et Indblik i den Rolle, som under Bestemmelsen af Kurver ved givne Betingelser de 

 forskjelligartede Løsninger spille, der fremkomme samtidig, og som samtidig vilde tilfreds- 

 stille samme Ligning, hvis man vilde benytte Analysens Hjælp. Formlerne i mit andel 

 Afsnit — som overhovedet Formler, der findes ved »Principe de correspondance« — angive 

 netop, hvorledes del fuldstændige Antal af Løsninger af en Opgave, som 

 kan udtrykkes ved en algebraisk Ligning, fordeles paa de forskjelligartede Løs- 

 ninger. 



Det er klart, at man i disse Henseender maatte opnaa langt mere ved Undersøgelsen 

 af Kurver af fjerde Orden, der kunne have indtil tre særegne Punkter, end ved Undersøgelse 

 ;if Kurver af tredie Orden, hvor der højst er ét — om end Vanskelighederne voxe i samme 

 Forhold som Udbyttet. Blandt Kurver af fjerde Orden (eller Klasse) træffer man saaledes 

 paa alle de Kurver, der have saadanne særegne Punkter (eller Tangenter), som i Alminde- 

 lighed i et System ville kunne fremkomme ved Omdannelse eller Sammenfalden af Dobbelt- 

 punkter og Spidser (eller Dobbelttangenter og Vendetangenter). Man kan derfor, som jeg 

 har gjort i denne Afhandling, give de Undersøgelser og Formler, der anvendes ved 



C) Recherche des caractéristiqus des systèmes élémentaires de courbes planes du troisième ordre Paris 



1871. 

 C) Détermination des caractéristiques des systèmes élémentaires de cubiques. C. R. 19, 26 février et 



11 mars 1872. 

 l') Delte viser sig allerede ved Keglesnit. Se min Afhandling: Nyt Bidrag til Læren om Systemer af 



Keglesnit. Kjøbenhavn 18G6. 



