290 



Første Afsnit. 

 Beskrivelse af et Kurvesystems sædvanlige særegne Kurver uden Mangcfoldsgrene. 



1. System af Kurver. — Naar en algebraisk Kurve er 



af Klassen n' 



og har d' Dobbelttangenter 



og e' Vendetangenter, 



af Ordenen n 



og har d Dobbellpunkter 



og e Spidser, 



maa disse Tal som liekjendt tilfredsstille følgende tre Linninger (de Pli'icker'ske 

 n (n— I) = K'-}-2c? + 3e 

 n'{n'—l = n + 2d' +i€' 

 e' — e = 3 {n'— n). 



ni at bestemme Kurven kræves « — 2 e = ^ d' — 2 c I 



opgivne Betingelser. Der vil saaledes være uendelig mange Kurver, der ere underkastede 



2 ■ 



opgivne Betingelser. Disse siges at danne et System. 



2. Analytisk Fremstilling af et System af Kurver. — Analytisk bestemmes 



et Kurvesystem af »i'te Orden ved en Ligning af n\e Grad mellem Punklkoordinater samt de 



n(n+Z) , ,. . „ , ,. . H(ra+3) ,. , , ,, , , , , 

 I Lignmger mellem denne Lignmgs ^ Konstanter, som udirykke, dels 



at Kurven har d Dobbeltpunkter og e Spidser, dels at den skal tilfredsstille de opgivne 

 Betingelser. Vi betragte kun Systemer, hvor ogsaa disse sidste Betingelsesligninger ere 

 algebraiske. I saa Fald kunne Konstanterne i Kurvens Ligning tænkes udtrykte som alge- 

 braiske Funktioner (i videste Betydning o: Rødder i algebraiske Ligninger) af en blandt 

 dem , eller af en ny Konstant /c. Idet man paa samme Maade kunde være gaaet ud fra 

 Kurvens Tangentligning, ses det, at et Kurvesystem kan fremstilles ved en Punkt- eller 

 Tangentligning, hvis Koefficienter ere algebraiske Funktioner af en Parameter h. Denne 

 bør vælges saaledes, at de enkelte Kurver i Systemet ikke bestemmes hver ved 

 flere forskjellige Værdier af le. Hvis man f. Ex. først havde indført en saadan Para- 

 meter Æ, som overalt kun forekom i Forbindelsen /(Æ), hvor/ er en (af æ og y uafhængig) 

 Funktion af højere end første Grad, burde man betragte / (Â:) som Systemets Parameter og 

 ombytte denne Funktion med den enkelte Betegnelse le. At man virkelig altid paa denne 



(•) Blandt de heraf afledte Ligninger er det ofte bekvemt at bruge 2 [à' — å] = («' — n) (n'-f-n — 9). 



