7 291 



Maade kan opnaa, at der til de enkelle Kurver i Systemet svarer bestemte Værdier af h, 

 er klart ; thi dette vil f. Ex. være Tilfældet, naar /,; er en af selve Koefficienterne 1 Kurvens 

 Lij,'ning. Enkelte Kurver i Systemet kunne dog danne undtagelser i denne Henseende: en 

 saadan, der altsaa svarer til flere Værdier af /c, forekommer da flere Gange i Systemet. 

 Dette samme vil være Tilfældet, naar flere af de Kurver, der svarer til samme 

 Værdi af h, falde sammen. Medens man kan bringe hver Kurve i Systemet til at have sin 

 tilsvarende bestemte Værdi af k, kan man nemlig ikke i Almindelighed opnaa, at 

 hver Værdi af k kun bestemmer én Kurve. Dette vil kun Gnde Sted, naar Lig- 

 ningens Koefücienter ere rationale Funktioner af k; men man véd, at dette ikke kan op- 

 naas ved nogen Indførelse af en ny Parameter, naar f. Ex. Koefficienterne i Ligningen ere 

 forelagte som Funktioner af k og VR, hvor R er et Polynomium i k af højere end anden 

 Grad. (Smlgn. Læren om algebraiske Differentialers Integration). 



Naar man skal undersoge de Kurver i Systemet, som ligge nærmest ved en enkelt 

 bestemt, vil det være bekvemt at vælge k saaledes, at denne svarer til ^ = 0, hvad der 

 altid kan opnaas ved at ombytte k — Æj med k. Venstre Side i Systemets Fællesligning 

 ep = O kan da udvikles i en Række efter stigende Potenser af k, hvor det konstante Led 

 bliver g.<^"5, idet y«" = O er den Kurve i Systemet, hvis nærmeste Kurver vi vilde under- 

 søge. Rækken bliver konvergent, saalænge k er numerisk mindre end en vis endelig 

 Grænse, der bestemmer, hvor stor en Del af Systemet man ad denne Vej kan undersøge. 

 Hvis Rækken indeholder brudne Exponenter med Geueraluævneren j), kan man ved for k 



at indfore den nye Parameter k^ — som atter kaldes k -- gjøre dem hele. Vi faa paa 



denne Maade omformet Systemets Ligning til 



(I) (f = q^ + ^CD /, + ff.CD k'- + . . . ,pir-n kr-i + ^ ^r _ o , 



hvor Funktionerne ep ere uafhængige af k, medens ifj er en Funktion af k samt x og y, 

 som ikke bliver uendelig for k = O, eller, hvis man lader r være uendelig, til 



(Ib) <f = y,(") + <f (!' k + </)« k- -t . . .=0. 



Skal Kurven (p<f>1 forekomme flere Gange blandt de til Æ = O svarende Kurver i Sy- 

 stemet, maa det ske ved, at enten de andre Led i den uendelige Række indeholde andre 

 irrationale Konstanter, end der allerede findes i (prø, eller ved at man identisk har 

 yCD^O, C)'-' = O . . . ^<»-i) = 0. I første Tilfælde kan man særskilt undersoge de Kurver, 

 der under hver af ^(''>'s Forekomster i Systemet ligge den nærmest, i andet Tilfælde der- 

 imod ville q paa hinanden folgende Kurver i Systemet falde sammen i ^^"5. 



Da vi nu ikke uden at gjøre Brud paa vore Forudsætninger paany kunne ombytte 

 k med nogen anden ny Parameter end ak, hvor a er en vilkaarlig Konstant eller i alt Fald 

 en saadan Funkliou af k, som for Ä; = O antager en endelig Værdi, kunne vi om en Storrelse u, 



