296 12 



til den første Klasse, nemlig Kurver med en ny Dobbelttangent (eller med et nyt Dobbelt- 

 pimkl), idet vi skulle se, at denne (dette) niaa betragtes som en Dobbeltgren af Kurven. 

 Hvad angaar de øvrige Kurver med Mangel'oldsgrene, saa have vi, som det skal ses i tredie 

 Afsnit, bestemt dem, som 'isædvanligvis» findes i Systemer af Kurver af tredie og fjerde 

 Orden. Da Antallet af de forskjellige Arter af Kurver med Mangefoldsgrene voxer, naar 

 Kurvernes Orden voxer, lader det sig neppe gjøre at drage disse særegne Kurver ind i saa- 

 danne almindelige Undersøgelser, som skulle strække sig til Kurver af alle Ordener. Derfor 

 skulle vi i Udviklingen af Formler i andet Afsnit ikke tage Hensyn til andre Kurver med 

 Mangefoldsgrene end de ovenfor nævnte, der tillige høre til den første Klasse af særegne 

 Kurver. Disse Formler ville da 1) være anvendelige paa de talrige Systemer, hvori der ikke 

 forekommer andre Kurver med .Mangefoldsgrene, og 2) ved Tilføjelse af supplementære Led 

 kunne gjøres anvendelige paa saadanne, hvor der findes Kurver med Mangefoldsgrene, og 

 her — som før, da vi talte om usædvanlige særegne Kurver — ville omtrent de samme 

 Undersøgelser, som lore til Formlerne, kunne benyttes til Udledelse af de supplementære 

 Led. Delte skulle vi faa Lejlighed til at se i de før nævnte Tilfælde (Kurver af 3die og 

 4de Orden), hvor vi gjennemføre Bestemmelsen af Kurver med Mangefoldsgrene. 



5. Retlinijede Grene og Toppunkter. — Idet vi her betragte Kurvernes 

 Bestemmelse som Punktfrembringelser (geometriske Steder for Punkter) og som Tangent- 

 frembringelser (Indliyllingskurver for rette Linier) som ligeberettigede, maa vi tage et sær- 

 ligt Hensyn til saadanne Kurver, hvoraf rette Linier eller Punkter ere Grene. En ret Linie 

 kan nemlig ikke betragtes som Taiigentfrembringelse, og en retliniet Gren af en Kurve vil 

 altsaa kun gjøre sig gjældende, naar Kurven betragtes som Punktfrembringelse. Ligeledes 

 kan et Punkt ikke betragtes som Punktfrembringelse, og et Punkt, som er en Gren af 

 en sammensat Kurve, vil altsaa kim gjøre sig gjældende, naar Kurven betragtes som 

 Tangentfrembringelse. Et saadant Punkt kaldes et Toppunkt; dette Ord (*) svarer altsaa 

 dualistisk til Ordet retliniet Gren. 



En sammensat Kurve i et System vil saaledes, naar den betragtes som Punkt- 

 frembringelse, kunne bestaa af en krum Linie og retliniede Grene, og betragtet som Tan- 

 gentfrembringelse være sammensat af den samme krumme Linie og Toppunkter. Den for 

 begge Frembringelsesniaader fælles krumme Linie, der godt kan være sammensat af flere 



(') Del har sin Oprindelse fra Keglesnit, der reduceres til Dobbeltlinier; enliver Linie gjennem disse 

 Keglesnits Toppunkter (i sædvanlig lietjdning) er en Tangent, saa de ogsaa blive Toppunkter i den 

 her brugte Betydning. — Et Toppunkt er overhovedet et Punkt af den Deskafl'enhed , at enhver ret 

 Linie derigjennem tr en Tangent. Det maa ikke forvexles med Punktgeometriens «isoleret Punkt», 

 som blot er et Dobbeltpunkt (Mangcfoldspunkt), hvor begge (alle) Grenene ere imaginære. Da en 

 ret Linie ikke betragtes som en Tangent, blot fordi den gaar gjennem et Dobheltpunkt, er el saadant 

 i .\lmindelighed ikke et Toppunkt; men vi skulle se, at «nye» Dobbellpunkler ere dobbelte Toppunkter. 



