302 18 



Man finder paa samme Maade ved Betragtning af de F'iûcker'ske Tal til Restkurven 

 «', at en fuldstændig Kurve «(,', naar den betragtes som Punklfrembrlngelse, er sammensat 

 af Restkurven og en Dobbeltlinie, der falder i dennes nye Dobbelttangent, at to af den fuld- 

 stændige Kurves Dobbeltpunkter falde sammen i hvert af denne Dobbeltlinies Skjærings- 

 punkter med Hestkurven, og tre af dens Spidser i hvert af Roringspunkterne; at ligeledes 

 en fuldstændig Kurve a^' eller a^' er sammensat af Restkurven og en Dobbelllinie, der i 

 første Tilfælde rorer Restkurven i ét Punkt, hvor tre Spidser falde sammen, og at ogsaa i 

 begge disse Tilfælde to Dobbellpunkter falde sammen i hvert af Dobbeitliniens Skjærings- 

 punkter med Restkurven. 



10. Nærmere Undersøgelse af Kurverne «g. — Punktligningen for en Kurve 

 «o vil, naar vi tage det nye Dobbeltpunkt til Begyndelsespunkt O og Tangenterne til Koor- 

 dinataxer C), blive af Formen 



^y+ (P3+<Pi + ■• ■ = 0) 

 idet (fr betegner en homogen Funktion af r'te Grad af x og y. Vi kunne antage, at <f^ 

 ikke bliver Nul, for a; = O eller y = O, da man saa havde med den usædvanlige Sær- 

 egenhed at gjore, hvor en af Tangenterne i Dobbeltpunktet var en Vendetangent. Vi have 

 da i 2 set, at de nærmest denne Kurve liggende Kurver i Systemet kunne fremstilles ved 



Fællesligningen 



a:y + (f3+(f'^+...+Jctp = 0, (II) 



hvor lp er en Funktion af x, y og h, der kan udvikles i en Række efter stigende Potenser 

 af h med hele og positive Exponenter, samt at Konstanterne i denne Række ville have fuld- 

 kommen bestemte Værdier, naar vi — i det Tilfælde, at den samme Kurve maalte fore- 

 komme flere Gange i Systemet — blot betragte en enkelt Forekomst. Foreløbig skulle 

 vi desuden forudsætte, at Æ = O, a; = O, y = O gjøre tfj = a, hvor n^O, 



Første Led i de Rækker efter stigende Potenser af k, der skulle udtrykke Koordi- 

 naterne til de Skjæringspunkter mellem Kurven (II) og en ret Linie gjennem O, der for Æ = O 

 falde i O, bestemmes ved Ligningen 



a'y -\-ka = 0. (III) 



C) X og y kunne betegne Parailelkoordinaler eller almindelige Trekantkoordinater, o: et Punkts Afstande 

 fra Linierne a; = O og j/ =: 0, dividerede med dets Afstande fra en tredje Linie s = O, og multi- 

 plicerede med vilkaarlige Konstanter. I begge Tilfælde kan man gjore Ligningerne homogene ved 



for æ og ?/ at skrive — og ^. — Linierne x og y ere imaginære, hvis det nye Dobbeltpunkt er et 



z z 



isoleret Punkt; i saa Fald vil Ligning (II) ved Henførelse til reelle Axer gjennem samme Punkt be- 

 holde si[i Form paa det nær, at xy ombyttes med et reelt Polynomium af anden Grad. Hvis selve 

 det nye Dobbeltpunkt er imaginært, er ej blot x og y (eller dog en af disse Størrelser) imaginære, 

 men ogsaa Punktet æ = O, j/ = 0. De nærmest liggende Kurver blive da imaginære, men selve 

 Kurven « kan være reel (se Exemplet i 13). Dette vil ogsaa finde Sted, naar det nye Dobbeltpunkt 

 er reelt, naar blot xp indeholder imaginære Konstanter. 



