<9 303 



Det viser sig, at disse Koordioater, og dermed Afstandene fra O til de derved bestemte 

 Funkter, i Almindelighed for lim. A; = O blive uendelig smaa af Ordenen J. De ville 

 — idet vi forudsætte, at O er et reelt Punkt, og at %}) ikke indeholder imaginære Konstan- 

 ter — gaa over fra at være reelle til at blive imaginære eller omvendt, naar k gjennem 

 Nul skifter Fortegn, allsaa naar en foranderlig Kurve i Systemet passerer den særegne. 

 Afstandene fra O til de Skjæringspunkter med a; = O eller ^z = O, der falde sammen med 

 O for Æ ^ O, blive derimod kun af Ordenen |, hvoraf — naar Dobbeltpunktet har reelle 

 Grene — vil følge, at ét af dem er reelt, hvad enten Â; > 0. Selve Kurven «g vil derimod 

 ikke skjære nogen nærliggende i noget Punkt, som for Æ = O falder i O, ligesom to nær- 

 liggende Kurver heller ikke skjære hinanden i et saadant Punkt. Man ser da, at, naar 

 Dobbellpunktets Grene ere reelle, det ene Par deraf dannede Topvinkler for /o O, det andet 

 for /c<0 vil indeholde Grene af en nærliggende Kurve, men at, naar Punktet O er et iso- 

 leret Punkt af Kurven «o, en ovalformet Gren af en nærliggende Kurve vil omslutte O for Æ 

 positiv (negativ), medens ingen reel Gren nærmer sig til O for k negativ (positiv). 



Idet nu Afstandene fra O til de Punkler af Kurven (II), der for /fc = O falde sam- 

 men med O, i Almindelighed ere uendelig smaa af Ordenen J- og aldrig af højere Orden, 

 kan man slutte, at det samme maa være Tilfældet med Afstandene til to af Skjæringspunk- 

 terne med en Kurve, hvoraf en enkelt Gren gaar gjennem O uden at røre nogen af Aserne, 

 med O's Afstande fra to af Tangenterne fra et Punkt, som ikke ligger paa nogen af Axerne, 

 eller fra to saadanne Dobbelttangenter, som for Æ = O falde sammen i en Tangent fra O 

 til Restkurven. Alt dette kunde man ogsaa unde ved en gjennemført analytisk Behandling. 



Naar man paa sædvanlig Maade søger Røringspunkterne for Vendetangenterne til 

 en Kurve i Systemet, finder man, at disse bestemmes som Skjæringspunkterne med en Kurve, 

 (Hesse's Kurve (')), hvis Ligning ogsaa bliver af Formen 



^y + Vs' + Vi'- • • +'''^»/'' = O, (IV) 



hvor tp' og xp' have samme Betydninger som tp og ifj i (II). Af Ligningerne (II) og (IV) kan 

 man udlede, at de søgte Punkter ogsaa maa ligge paa Kurven 



De Punkter af denne Kurve, som falde sammen med O for k = O, have Afstande fra O, 

 som ere uendelig smaa af Ordenen ^ eller af en endnu lavere Orden, naar stedse k betragtes 

 som uendelig lille af første Orden, og dette maa saaledes ogsaa være Tilfældet med Rø- 

 ringspunkterne for de Vendetangenter til (II), som for Æ = O falde sammen med Axerne, 

 idet disse Røringspunkter have O til Grænsestilling. Disse Punkter maa da, ifølge 

 det som før er sagt om Kurven (II), være saaledes bestemte, at enten lim. - := O eller 



y 



C) Ligningen for Hesse's Kurver findes ved at gjore Ligningen for den givne Kurve liomogen og der- 

 næst sætte Determinanten af dens anden DilTerentiailioefßcienter lig .Nul. 



