304 20 



lim. — = O, og ifølge 9 maa hver af disse Bestemmelser give 3 Punkler. Vi skulle nøjere 



X 



undersøge dem, for hvilke lim. — ^ 0. 



Disse Punkters Abscisser x maa, da lim. - = O, være af samme Orden som de- 



X 



res Afstande fra O, altsaa af Ordenen ^ eller en lavere Orden. I sidste Tilfælde vilde x 

 udviklet i Række efter Potenser af le begynde med et Led , hvis Exponent var mindre end 

 — , og hvori Nævneren altsaa var større end 3. Følgelig Ck allerede dette Led og altsaa 

 hele Udtrykket for x mere end 3 Værdier, hvilket, som vi have sét, ikke vil være Tilfældet. 

 De søgte Værdier af x blive altsaa af Ordenen —, og Rækkeudviklingen for x efter stigende 



l'otenser af h vil begynde med et Led af Formen A . k^, hvor A er en konstant Størrelse. 



A 



Ligning (II) giver derefter en Rækkeudvikling for y, som begynder med5.7i;J, hvor 5= . 



Ligningerne forTangenterne til Kurven (II) i de saaledes bestemte Punkter (Ak^-\-..., Blå +...) 

 eller for de søgte Vendetangenter blive da af Formen 



Xx+Yy + Z=0, \ 



hvor X = Ckl + ..., Y = Ak^-^...., Z = Dk + ...,] 



idet C og D ere nye konstante Størrelser. De Rækkeudviklinger efter sligende Potenser af 

 k, som man saaledes finder for X, Y, Z — Vendetangenternes Liniikoordinater — saavel 

 som Rækkeudviklingerne for Røringspunkternes Koordinater a; og ?/, ville kun indeholde 

 Potenser med hel Exponent af Z;^ og fuldstændig bestemte Koefficienter ('), da de ellers 

 vilde bestemme mere end 3 Vendetangenter. Disse Rækkeudviklinger kunne bruges, saa- 

 længe k er lille nok til, at de ere konvergente. — Ligningerne (V) blive for Ä; = O til 

 y ^ O, som altsaa er den Linie, hvori de tre Vendetangenter, hvis Roringspunkter be- 

 stemmes ved lim. — = O, falde sammen, medens de tre, hvis Roringspunkter bestemmes 



ved lim. — = O, falde sammen i £c = 0. 



y 



Hvis nu det nye Dobbeltpunkt har reelle Grene (og ^ som for forudsættes reel), 

 maa mindst den ene af de tre Vendetangenter, som nærme sig til Grænsen y = O, være 

 reel. KoefQcienterne i Rækkerne maa altsaa være reelle — eller kunne gjøres reelle ved 



at trækkes sammen med Potenser af den imaginære Faktor til yk^ som indgaar i den Værdi 

 af fcî, som giver den reelle Opløsning. Den reelle Vendetangent bliver da bestemt ved 

 den reelle Værdi af k^, medens de imaginære Værdier af k^ give imaginære Opløsninger. 



C) Koefficienterne kunne godt være irrationale; men de Værdier, som netop svare til de tre Vendetan- 

 genter, vi her betragte, ville være fulilkoninien bestemte. 



