21 305 



Altsaa vil, saavel før som efterat k har passeret O, kun den ene af de tre Vendetan- 

 genter være reel. 



Ligningen (V) vil bestemme det System af rette Linier, som for tilstrækkelig smaa 

 Værdier af k dannes af de Vendetangenter til Kurver y i det givne System, der have y = 

 lil Grænsestilh'ng. Ved i denne Ligning at sætte k^ = h, faa vi Systemet saaledes be- 

 stemt, at hver Værdi af h kun giver én Linie i Systemet. IndhyHingskurven for dette Sy- 

 stem bliver en enkelt Gren af IndhyHingskurven (c'j for Vendetangenterne til Systemets Kur- 

 ver, som strækker sig til alle de Vendetangenter, for hvilke Flækkerne (V) ere konvergente. 

 De tre Vendetangenter til en Kurve i Systemet, som have y = O ti! Grænsestilling, blive 

 saaledes ikke Tangenter til forskjellige Grene af denne Indhyllingskurve, men kun forskjellige 

 Tangenter til samme Gren. Dette vilde aabenbart være umuligt, naar alle tre vare reelle. 



Det er altsaa kun en enkelt Gren af IndhyHingskurven for Vendetan- 

 genterne, der rører Linien y = O, og man vil se, at «/ = O kun er en simpel 

 Tangent til denne Gren. Benyttes nemlig Ligningen (V), der efter Bortforkortning af 

 den fælles Faktor k^ = /* kan skrive: 



{Ch + ...]x + (A-^...)y + (Dr- +...) = o, 

 til Bestemmelse af Vendetangenter gjennem Punktet {x^, 0), faas 



Cxik + Eh" +.. . = O, 

 som kun giver én Rod h = 0. Røringspunktet med IndhyHingskurven maa be- 

 stemmes ved den Værdi af Xi, for hvilken endnu en Værdi af h bliver O, altsaa ved Xi=0, 

 og bliver følgelig selve det nye Dobbeltpunkt O. — De her anførte Sætninger 

 om Tangenten y = O i dette Dobbeltpunkt gjælde selvfølgelig ogsaa om a; = 0. 



Udtrykkene for Koordinaterne til Vendetangenternes Røringspunkter vise paa lig- 

 nende Maade, at ogsaa Kurven {q') [se 3] har simpel Roring med det nye Dobbeltpunkts 

 Grene. — Da Afstanden mellem saadanne to Dobbelttangenter til Kurven (II), som for i = O 

 falde sammen i en Tangent fra O til Restkurven, ere uendelig smaa af Ordenen j ved O, 

 men af første Orden ved Røringspunktet med Restkurven, kan man slutte, at saavel Kurven 

 {b') som ip') rører Restkurven i dette sidste Punkt. 



Allerede et System af Trediegradskurver uden særegne Punkter leverer Exempel paa Kurverne «g. 

 En Kurve i et saadant System har 9 Vendetangenter, af hvilke de 3 ere reelle, medens en Trediegradskurve 

 med et Dobbeltpunkt med reelle Grene har 3 Vendetangenter, hvoraf I er reel. Af de G Vendetangenter, som 

 gaa tabt ved Dannelsen af Dobbellpunktet, vare altsaa de 2 reelle — i Overensstemmelse med det ovenfor 

 udviklede. Er derimod Dobbeltpunktet paa Kurven «o et isoleret Punkt, ere de Vendetangenter, som tabes, 

 imaginære, hvilket stemmer med, at en Trediegradskurve med isoleret Punkt har 3 reelle Vendetangenter (•). 



C) Man kan, som Pliicker gjor det i andet Afsnit 64 af Theorie der algebraischen Curven, fra de her 

 omtalte Egenskaber ved Kurver af tredie Orden slutte sig til Antallene af de reelle og imagi- 

 nære Vendetangenter, som fulde sammen paa en vilkaarlig Kurve «„. 



