306 22 



Paa Fig. 1 ere 1 og 3 to Kurver i et System, mellem hvilke 2 er en Overgangskurve «q. Idet en 

 Kurve i Systemet varierer fra 1 gjennem 2 til 3, ville to af Tangenterne fra P begynde med at være reelle, 

 falde sammen i PO og dernæst blive imaginære, c'^ er en af Tangenterne til 2 i Dobbeltpunktet O, c\ og 

 c'3 ere de reelle Vendetangenter til 1 og 3, der have c'^ til Grænsestilling og røre den Gren af Vendetangen- 

 ternes Indhyllingskurve, der i O rører c'j. 



At baade Kurven 1 og Kurven 3, naar de ligge tilstrækkelig nær ved 2, nødvendigvis begge maa 

 have to reelle Vendetangenter, der nærme sig til Tangenterne til 2 i O, viser sig forøvrigt ved selve Tegnin- 

 gen af Figuren, idet disse Kurver i en vis Afstand fra O, vende Konkaviteten samme Vej som 2. Man ser da 

 tillige, at de to reelle Vendetangenter røre samme Gren af den ene (her 1), men de forskjellige Grene af den 

 anden (3). 



Man kan ogsaa ved den blotte Figurbetragtning overbevise sig om, at ikke tier end én Vendetangent 

 til 1 eller 3, som nærmer sig til en Tangent til 2 i O, er reel. Dette vil man se, naar man tager i Betragt- 

 ning , at, da ingen ret Linie gjennem O skjærer Kurven 2 i mere end tre Punkter, som falde sammen i O, 

 kan heller ingen med Kurven 1 forbunden ret Linie skjære denne Kurve 1 mere end tre Punkter, som falde 

 sammen med O, samtidig med at 1 falder sammen med 2. Man vil nemlig ikke kunne faa flere reelle Vende- 

 tangenter til 1 end de alt angivne, uden at nogen af dem endnu skjærer Kurven i et Punkt, der ligesom Rø- 

 ringspunktet har O til Grænsestilling. 



11. Fortsat Undersøgelse af Kurverne «oO- — ' 10 forudsatles det om 

 Ligning (II) 



o^y + Vs + Vi + ' ■ ' + ^^ ■= O, 

 at tp ikke blev O for a; = O, y = O, k = 0. Vi skulle nu undersøge Systemet i det 

 Tilfælde, hvor denne Forudsætning bortlages, og hvor ip altsaa ikke indeholder noget 

 Led af O'te Grad med Hensyn til x, y og k. I saa Fald faa navnlig Leddene af 

 første Grad ax + iy + ck Betydning. Vi skulle nøjes med at behandle det Tilfælde, hvor 

 i alt Fald c>0. 



Første Led i de Rækker, der bestemme de Skjæringspunkter med rette Linier gjen- 

 nem O, som for Æ = O falde i O, findes ved Ligningen 



xjj + k (ax + hj) -f- Ic'^c = O, (VI) 



idet vi foreløbig ikke tage Hensyn til Skjæringspunkter med Axerne. Disse Punklers 

 Afstande fra O blive allsaa for lim. k = Q uendelig smaa af første Orden, hvoraf vil følge, 

 at de enten ere reelle eller imaginære baade før og efler, at k har passeret Nul. Over- 

 gangen mellem de Linier, der have reelle, og dem, der have imaginære Skjæringspunkter, 

 dannes af Linierne 



Acxy = (ax + by)"^. (VII) 



Disse Linier, der blive GrænsestilHnger for Tangenier fra O til den ved k bestemte Kurve, 



C) Enkelte af de her i 11 behandlede Forhold ere undersøgte af Dr. J. Petersen i en Afhandling 

 drag til Enveloppetheorien» i Tidsskrift for Mathematik 1872 S. 81. 



