23 307 



blive Tangenter i O til Indhyllingskurven for Systemets Kurver, som altsaa faar 

 et Dobbeltpunkt i O. (Man ser ogsaa let, at de faa den i 2 omtalte Egenskab ved Tan- 

 genter til Indhyllingskurven). 



Ligning (VI) og den, som dannes deraf ved at ombytte k med Jc , kan ogsaa be- 

 nyttes til Bestemmelse af første Led i Udtrykkene for Koordinaterne til de to Skjærings- 

 punkter mellem to Kurver i Rækken, som for k = O, k^ =0 falde i O. 



Naar man i et Systems Fæilesligning indsætter et givet Punkt (x, y), tjener den til 

 Bestemmelse af de Værdier af k, som bestemme de Kurver i Systemet, som gaa gjennem 

 {X, y). Ligning (VI) kan da benyttes til Bestemmelse af Leddene af første Grad i Række- 

 udviklingerne af udtrykkene for de Værdier af k, som nærme sig til Nul, samtidig med at 

 Punktet {x, y) nærmer sig til O. Man finder to saadanne Udtryk. Ligning (VII) bliver, som 

 man maalte vente, Betingelsen for, at disse første Led skulle blive ligestore. 



Ligning (VI) kan kun bruges ved Bestemmelser af det ene Skjæringspunkt med en 

 af Axerne, idet den f. Ex. for ?/ = O kun giver x = —/<;- + ...; for at bestemme flere 

 Skjæringspunkter maa man endnu medtage Leddet ^3 , hvorved endnu faas to Abscisser, 

 som blive uendelig smaa af Ordenen \. 



Idet de Led i Ligningen for Hesse's Kurve, som ere af lavere end tredie Orden 

 med Hensyn til æ, y og k, ere 



xy -\- h (ax -{• hy) -+- k-c', 

 hvor blot c' er en ny Konstant, ville Røringspunkterne for de Vendetangenter, som falde 

 sammen med y == O for A; = O, bestemmes ved x = Ak^ + • ■ -, y = — ak -{- . . .\ Kur- 

 ven (q') vil saaledes have en Spids i Punktet O; Tangenten bliver y = 0. — Ligningen 

 for en af Vendetangenterne bliver efter Bortforkortning af k^ 



(Cki -{- .. .)x-\-(A + ...]y + aÅk + . . . = O, 

 som viser, at Linien ?/ = O i O er en Vende tangent til Vendetangenternes Ind- 

 hyllingskurve (c'). — En Tangent fra O lil Resikurven bliver her en Dobbelttangent til 

 Dobbelltangenternes Indhyllingskurve (h'), og i Almindelighed vil intet af dens Røringspunk- 

 ter med [b') falde i Røringspunktet med Restkurven. 



Systemets Udseende, naar selve Punktet O er reelt, og naar ip er reel, fremgaar let af de her udledte 

 Egenskaber. Hvis Punktet O er et isoleret Punkt paa Indhyllingskurven (Linierne (Vil) imaginære), 



\ille i (VI) alio reelle Værdier af M- enten give luUer reelle eller lutter imaginære Værdier af |.. Er da Punk- 

 aï « 

 tet O ogsaa et isoleret Punkt paa Kurven «o (i hvilket Tilfælde Ligningen, naar den gjøres reel ved Henførelse 

 til reelle Axer gjennem O, beholder sin Form paa det nær, at xy ombyttes med et stedse positivt Polynom 

 af anden Grad), maa de nærmest O liggende Grene af Systemets Kurver enten (for c>0) alle være imaginære 

 eller (c<0) alle være Ovaler, der omslute O (Fig. 2), og blandt hvilke de, der svare til positive h, helt om- 

 slutte hverandre, og de, der svare til negative le, gjøre det samme. Har derimod Kurven «„ reelle Grene 

 gjennem' O, maa dette Punkt ligge paa samme Side af begge Grene af en nærliggende Kurve. Fig. 3. 



