25 309 



12. Kurverne oq's Forekomst i elementære Systemer. — Naar man i 

 et System finder en Kurve med et nyt Dobbeltpunkt og dernæst vælger Koordinatsystemet 

 og. bestemmer Parameteren h saaledes som antaget i 10 og 2, vil Fællesligningen for Sy- 

 stemets Kurver antage Formen (II), hvor i Almindelighed x = 0, y = Q, Æ = ikke gjør 

 i/; = 0. Det kunde da synes, som om et System i Almindelighed ikke vilde indeholde 

 saadanne særegne Kurver «o, til hvilke Systemets Kurver nærme sig paa den Maade, der 

 er beskreven ill. Dette vil dog være Tilfældet med ethvert System, til hvis givne Be- 

 tingelser horer den at skulle rore en given Kurve, Man kan nemlig Gnde en Kurve, som 

 tilfredsstiller Systemets øvrige Betingelser, men i Stedet for at røre den givne Kurve har 

 et nyt Dobbeltpunkt beliggende paa denne. Da det nye Dobbeltpunkt er et dobbelt Top- 

 punkt, vil denne Kurve nemlig ogsaa tilfredsstille den Betingelse at røre den givne Kurve. 

 Ligeledes vil der til et System af Kurver, som blandt andet skulle røre to givne Kurver, høre 

 saadanne hvor de nævnte to Betingelser ere opfyldte ved, at de have nye Dobbeltpunkter i 

 et Skjæringspunkt mellem de givne Kurver. I begge de her nævnte Tilfælde gaar Kurve- 

 systemets Indbyllingskurve gjennem de nye Dobbeltpunkter, hvilket kun da er Tilfældet 

 med Systemet (II), naar som i 11 æ = O, y = 0, k=0 gjor ip=0. At vi ogsaa ;her, hvor 

 vi hovedsagelig beskjæftige os med «sædvanlige» Særegenheder (se 4), maa tage Hensyn 

 til de her anførte Tilfælde, er klart; thi de indtræde i alle saadanne elementære Sy- 

 stemer, hvor mindst én eller to Tangenter til Systemets Kurver ere givne. 



Naar nu et System indeholder en Kurve, der i Stedet for at rore en given Kurve 

 C har et nyt Dobbellpunkt beliggende paa denne, og man vælger Koordinatsystemet som 

 i 10 — 11, bliver Ligningen altsaa en saadan Ligning af Formen (II), som ikke indeholder 

 Led af lavere end anden Grad med Hensyn til x, ij og h. Tangenten til Kurven C i Be- 

 gyndelsespunktet bliver en af Tangenterne til Systemets Indbyllingskurve i dette Punkt, 

 hvilke bestemtes ved (VII). Er nu (Xj, yj et vilkaarligt Punkt af denne Tangent, kan 

 Konstanten c i Ligning (VI), der indeholder Leddene af anden Grad i Systemets Ligning, 

 udtrykkes ved Konstanterne a og è ved 



Hvis det nye Dobbeltpunkt ligger paa to af de Kurver, som Systemets Kurver skulle 

 røre, kjender man begge Tangenter til Indhylhngskurven i Punktet O, hvorved endnu faas 

 Ligningen 



4 c a;., 2/2 = (««2 -r-^Vi)'^- 

 Disse to Ligninger give to Værdier for -7- og svarende til hver af disse én Værdi af c. 

 (De absolute Værdier af a og ô ere ligegyldige, da Systemet ikke forandres, ved at h mul- 

 tipliceres med en af h uafhængig Konstant). Den Omstændighed, at der kommer to Op- 

 løsninger, viser, at en Kurve, som har et nyt Dobbeltpunkt i Skjæringspunktet 



Vidensk. SeUh, Skr. S Række, aalurvideash. og matbeoi. Afd. 10 B. IV. 40 



