27 311 



ogsaa maa tilfredsstille Ligningen (') (/;'''>= O, hvor «/("^ er den Funktion, som dannes ved 

 i y/ at sætte k = 0. De to andre Punkter, hvori ^rø = skjæres af y = 0, maa være 

 Røringspunkter mellem den særegne Kurve a^ eller a.^ og Indhyllingskurven for Systemets 

 Kurver. Naar Systemets Indhyllingskurve ikke gaar gjennem 'begyndelsespunktet O, blive 

 altsaa de retliniede Grene af Kurverne a^ og «5 Dobbelttangenter til Indhyl- 

 lingskurven for Systemets Kurver. 



Skal Systemets Indhyllingskurve gaa gjennem O, vil et af de n—l Skjæringspunktier 

 mellem y = og j^<o)=Ofalde i O. Dette Punkt, som ikke er et af de w— 2 Dobbeltpunkter, 

 kan da være et af de to Punkter af den retliniede Gren y=0, i hvilke den særegne Kurve 

 «1 eller «o rører Indhyllingskurven, og ?/ = O indeholder da endnu kun ét saadant Punkt 

 og vil saaledes foruden at gaa gjennem Indhyllingskurvens Dobbeltpunkt O 

 kun røre den én Gang. Men Punktet O kan ogsaa være et nyt (n + l)te Punkt, som 

 y == O faar fælles med Kurven ip^"i=0, som er af n'te Grad, og som altsaa helt indeholder 

 denne rette Linie. I dette Tilfælde bliver y = selv en af de to Grene af Systemets 

 Indhyllingskurve, som gaa gjennem O. Endog de elementære Systemer levere 

 Exempler paa begge de her nævnte to Tilfælde. 



Da Ligning (VIII) er indbefattet i Ligning (II), kan man forovrigt paa de Kurver i 

 et System, som nærme sig til at falde sammen med en Kurve «j eller «2, overføre alle 

 de Egenskaber, som vi i 10—12 have fundet ved de Kurver, der nærme sig til at falde 

 sammen med en Kurve «q, forsaavidt de blot ikke særligt vedkomme Forbindelsen med 

 Linier, der for A; = O falde sammen med en retliniet Gren af Kurven «i eller a^- Man 

 finder saaledes, naar x = O, j/ = O, Æ = O ikke gjore ^ = O, at O's Afstand fra den Kurve, 

 der svarer til en uendelig lille Værdi af k, er uendelig lille af Ordenen -, at en Tangent 

 fra O til Restkurven er en enkelt Tangent til Kurven {b'] og Kurven {p') og rører dem i 

 Røringspunktet med Restkurven, samt at Linien x = 0, hvis den ikke ogsaa er en retliniet 

 Gren af Grænsekurven (Kurverne a^), vil have simpel Røring med Kurverne (c') og (j') i 

 Punktet O o. s. v. Derimod vide vi forud, at ingen Vendetangent falder i Linien y = 0. 



Exempter paa n, haves i Systemer af Kurver af tredie Orden med ét Dobbellpunkt: kommer et nyt 

 til, faas en Kurve sammensat af et Keglesnit og en ret Linie. Hvis denne skjærer Keglesnittet i reelle Punkter, 

 er baade det gamle og det nye Dobbellpunkt reelle, og tre Vendetangenter ere gaaede tabt, hvoraf den ene er 



Det synes underligt, at Ligningen for en Kurve «1 eller «j forekommer som specielt Tilfælde af 

 Ligningen for en usædvanlig særegen Kurve; men derved maa erindres, at Punktligningens al- 

 mindeligste Form fremstiller en Kurve uden særegne Punkter. Iblandt snadaune Kurver vilde 

 ganske vist Kurverne «, og a, være mindre sædvanlige (3: afhænge af flere Betingelsesligninger), end 

 de Kurver, som i Almindelighed fremkomme som Grænseflgurer for Systemer fremstillede ved Lig- 

 ninger af Formen (VIII). Her betragte vi derimod Systemer, som vi paa Forhaand tillægge d -\- e 

 særegne Punkter. — Af denne og lignende Grunde ville vi ofte linde algebraiske Fremstillinger 

 af mere sædvanlige særegne Kurver specielt indbefattede i Fremstillingen af mindre sædvanlige. 



