312 28 



reel. Hvis den rette Linie derimod ikke skjærer Keglesnittet, ere begge Dobbeltpunkter imaginære. Selve 

 Kurven «i kan da være reel, medens de nærmest liggende Kurver, der have et enkelt imaginært Dobbeltpunkt, 

 maa være imaginære. Kurven «, bliver da en isoleret Kurve (se 1ste Note til 10). Ved i Fig. 1, 3 og 5 

 at ombytte den ene Gren af Kurven 2 med en ret Linie (se Fig. 6, som svarer til Fig. 1) faas Kurver «,. 

 Det ses da, at i saa Fald Kurverne 1 og 3 ikke have nogen reel Vendetangent, som nærmer sig til at røre 

 denne retliniede Gren i O. 



Keglesnit, der opløses i to rette Linier, give Exempler paa Kurverne «j. Skulle Keglesnittene i et 

 System røre fire Kurver C,, Cj, C,, O,, vil Systemet indeholde et Keglesnit sammensat af en Fællestangent 

 til C, og Cj og en Tangent fra dennes Skjæringspunkt med Cj til C^. Indhyllingskurven vil have et Dobbelt- 

 punkt i dette Keglesnits Dobbeltpunkt. C, bliver den ene af de Grene af Indhyllingskurven , som gaa der- 

 igjennem. Den anden Gren bliver selve Fællestangenten til Ci og Cj , da man allerede om denne véd, at 

 den skal røre Indhyllingskurven i sine Roringspunkter med C, og C,, hvorved denne rette Linie faar tre 

 Punkter fælles med det konsekutive Keglesnit i Systemet. Tangenten til C, rører derimod kun Indhyllings- 

 kurven i sit Røringspunkt med C^. De to Grene af denne Kurve «j levere derved Exempler paa begge de 

 ovenfor beskrevne Tilfælde. Hvis C,, Cj og C, ere Punkter, Cj en ret Linie, er Systemet elementært. 



14. Kurverne «'. — Af Kurverne «'s Egenskaber udleder man ved Dualitets- 

 principet Egenskaberne ved Kurverne «', som kunne fremstilles ved de samme Ligninger, 

 idet blot Punktkoordinater saa maa ombyttes med Liniekoordinater. Hvis den dobbelte ret- 

 liniede Gren ikke skal røre Indhyllingskurven, vil i Systemets Ligning — naar den bringes 

 paa Formen (II) ved at tage den nye Dobbelttangents Røringspunkter til Vinkelspidserne 

 a; = 0, y = i Koordinattrekanten — Størrelsen rp indeholde et af a;, y og Z; uafhængigt 

 endeligt Led som i 10; i modsat Fald maa dette Led blive Nul, og da vil den nye Dobbelt- 

 tangent ogsaa blive Dobbelttangent til Indhyllingskurven, svarende til 11. I første Til- 

 fælde er Afstanden mellem de sammenfaldende Grene for lim. 7c = af Ordenen —, og 

 disse Grene ville altsaa for Jo O blive imaginære langs de Strækninger af Dobbelttangenten 

 til Kurven«', hvor de vare reelle for 7i;<0, og omvendt. I andet Tilfælde derimod er Afstanden af 

 første Orden og vedbliver altsaa for Æ>0 at være reel langs de samme Strækninger, hvor 

 den forud var reel. Overgangen mellem de reelle og imaginære Strækninger sker dels 

 gjennem Røringspunkter med Restkurven («q' og«i') dels gjennem Toppunkter (a^'oga^')- 

 I et Røringspunkt med Restkurven falde tre Spidser sammen, hvoraf dog kim den ene 

 er reel. Den nye Dobbelttangent rører i sit Røringspunkt med Restkurven det geometriske 

 Sted for Spidserne, Kurven (c), og denne Kurve har i det Tilfælde, hvor Dobbelttangenten 

 rører Indhyllingskurven, en Spids i det anførte Punkt o. s. v. 



Hver af de Kurver, hvor Afstanden mellem Grenene er af Ordenen —, regnes én 

 Gang med i Tallet a' , og hver af dem, hvor den er af Ordenen 1 regnes to Gange. 

 Dette sidste bliver saaledes Tilfældet med saadanne særegne Kurver, hvor den nye Dobbelt- 

 tangent rører en given Kurve, som Systemets Kurver skulle røre, eller specielt gaar gjennem 

 et Punkt, hvorigjennem de skulle gaa. Rorer den nye Dobbelttangent to saadanne Kurver, 



