29 313 



forekommer den særegne Kurve to Gange i Systemet og tælles hver Gang som to i Tallet 

 «'. lait tælles den saaledes som fire (se 12). 



I 41 o. f. vil der blive vist en Fremstilling af Kurverne a' ved Punktkoordinater. 

 De der anvendte Ligninger kunne ogsaa benyttes til Fremstilling af Kurverne a ved Linie- 

 koordinater. 



I Fig. 7 er 2 en saadan Overgå ngskurve o,' mellem Kurverne 1 og 3, hvor den nye Dobbelttangent 

 ikke rører Indhyllingskurven. Overgangen mellem de Dele af Dobbelllinien af 2, tivortil der nærmer sig reelle 

 og imaginære Grene enten af Kurven t eller af Kurven 3, sker dels gjennem Toppunktet o, dels gjennem 

 Røringspunktet med Restkurven c^. Figuren gjør det anskueligt, at a^ virkelig maa være et Dobbeltpunkt paa 

 Indhyllingskurven (smlgn 13). Paa denne Figur faar det reelle Grene. Læseren vil anskueliggjere sig mange 

 at de her omtalte Forbold ved Tegningen af en Kurve «,', hvis Dobbeltlinie rører Systemets Indhjllingskurve, 

 samt af nærliggende Kurver. 



Kurverne a ville, naar de betragtes som Tangentdannelser, og Kurverne a' , naar 

 de betragtes som Punktdannelser høre med til Kurver med Dobbeltgrene, idet de første have 

 et dobbelt Toppunkt og de sidste en retiiniet Gren. Derimod have Kurverne a og a' ikke 

 Dobbeltgrene , naar de henholdsvis betragtes som Punkt- og Tangentdannelser. Af denne 

 Grund støde vi allerede paa dem her, hvor vi dog beskjæftige os med særegne Kurver uden 

 Mangefoldsgrene. 



15. Rurverne ß og ß'. — Tavlen i 8 viser, at en Kurve ß betragtet som Tangent- 

 dannelse er sammensat af Resikurven og et Toppunkt, der falder i den nye Spids, der er 

 dannet af et blandt de d Dobbeltpunkter. De n' — 4 Tangenter fra dette Toppunkt til Rest- 

 kurven ere Dobbelttangenter til den fuldstændige Kurve, og i Tangenten i selve Spidsen 

 falde to af dennes Vendetangenter sammen. 



En Kurve ß' er, betragtet som Punktdannelse, sammensat af Restkurven og en 

 ret Linie, der falder i den nye Vendetangent. Dennes Skjæringspunkter med Resikurven 

 ere Dobbellpunkter, og i Vendepunktet falde to Spidser sammen. 



En Kurve ß med Spids i Begyndelsespunktet og Linien J/ = O lil Tangent i dette 

 Punkt fremstilles ved Ligningen 



y- -\-(f3 +(f i -{-... = 0. 



Hvis det Dobbeltpunkt, som er gaaet over lil en Spids, ligger fast, maa Systemets Ligning 

 være af Formen 



y' +9^3+ V4 +.... + i- (l/za +i/'3 +•••) = O, • (IX) 



hvor ?//2i 4>i ••• sre Funktioner af x, y og k, som ere af anden, tredie ... Grad med 

 Hensyn til x og y. Naar derimod det Dobbellpimkt, som gaar over lil en Spids, bevæger 

 sig, maa man i Ligning (IX) ombytte x og y med x+f (k) og i/+g(k}; hvor/ og g 

 betegne Funktioner af k, der blive Nul for k = 0. udviklede efter stigende Potenser af 



