314 30 



h, maa de fremdeles give lutter hele Exponenter, da den ved en lille Vardi af Te bestemte 

 Kurve ellers vilde faa flere Dobbellpunkter, der for Æ = O faldt i'Begyndelsespunktet. Andre 

 Betingelser ere disse Rækker ikke underkastede. Man har da 



f[h) = a^ 7c + a^ l^- + .., g m == h, k + h^k"- +••, 



som i Almindelighed blive uendelig smaa af første Orden for lim. ä = 0. Ligning 



(IX) vil da omdannes til en Ligning af Formen 



y^-f 2J, ky -\-hi"k- +2b^k^y + 2b^ b^ k'^ + ^3 (æ + Oj Æ, y + b^ k) 



+ k tp^ {x + a^ k, 7j + b, k] + x-= O, (X) 

 hvor y.g og ip2 ere Funktioner af tredie og anden Grad (j//, den, der daunes ved at sætte 

 Z; = O i j/zo i (IX), medens y-g er den samme som i (IX)), og hvor x ^^ ^^ Funktion af 

 x, y og Æ, som ikke indeholder Led, som ere af lavere end fjerde Grad med Hensyn til 

 disse Størrelser. (Det ses let, at denne Egenskab ved x ^r nødvendig, men ikke til- 

 strækkelig). 



Ligning (X) giver, at en ret Linie gjennem Begyndelsespunktet ( — = — 1, vil 



skjære den ved k bestemte Kurve i Systemet i to Punkter, hvis Afstande fra O blive uen- 

 delig smaa af første Orden. Første Led af begge disse Skjæringspunkters Ordinater bliver 

 »/ = — Jj k. Ved Bestemmelsen af andet Led maa man tage Leddene af tredie Orden i 



(X) med. Man finder da 



y=.—b^k±V— ((f^ +kip„), 



hvor man i ^3 og j/^o fora; skal sætte — y og derefter for y sætte — b^k. Andet Led, og 



Vi 

 dermed Differensen mellem de to Skjæringspunkters Afstande fra O, bliver saaledes af 



3 

 Ordenen —, medmindre x:y er saaledes bestemt, at Størrelsen under Rodtegnet bliver 



Nul ved de anførte Indsættelser eller ved at sætte k = — •^. De reite Linier, med hvilke 

 dette er Tilfældet, fremstilles ved Ligningen 



(Ps i^>i x — ai y,0) — y xjj^ [b^ x — a^ y, 0) = 0. 

 Leddene indeholde den fælles Faktor (ôj x — a^ y)^, som bestemmer Tangenten til den 

 Gren af det geometriske Sled for Dobbeltpunkterne, Kurven (b), som gaar gjennem Punktet. 

 Efter Bortskaffelse af denne Faktor bliver tilbage en Faktor af første Grad, som be- 

 stemmer Tangenten til en enkelt Gren af Indhyllingskurven, som gaar 

 gjennem O. 



Ved de fleste Undersøgelser er det forøvrigt bekvemmere at bruge Ligning (IX) 

 end Ligning (X), idet man saa blot maa erindre, at den undersøgte Kurve samtidig med den 

 ved (IX) udtrykte Forandring underkastes en Forskydning, der for lim. k = er uendelig 

 lille af første Orden. Ligning (IX) viser, at Tangenterne i Dobbeltpunktet paa den ved k 



