31 315 



bestemte Kurve for lim. ^^0 ville danne Vinkler, som ere uendelig smaa af Ordenen 

 — , saavel indbyrdes som med Linien y=0, og at det samme bliver Tilfældet med de 

 Vendetangenter, som nærme sig til y = 0. Disse bestemmes lettest ved af (IX) at danne 

 Ligningen ^-^=0. Disse Omstændigheder, paa hvillie Kurvens og dermed de omtalte 

 Tangenters samtidige Bevægelse ingen Forandring gjør, ville bevirke, at Kurverne {p) og 

 (c') (se 3) have simpel Røring med y = i Punktet O. 



Ligning (IX) viser, at Afstandene fra O til Vendetangenternes Røringspunkter blive 

 uendelig smaa af første Orden, naar det særegne Punkt ligger fast i O. Sammensættes 

 disse Afstande med det særegne Punkts Bevægelse, faas paany uendelig smaa Størrelser af 



første Orden. Derimod bliver den indbyrdes Afstand mellem Vendetangenternes Rorings- 



3 

 punkter uendelig lille af Ordenen -. Heraf følger, at Kurven (q') faar en Spids i 



Punktet O. — Idel de forskjcllige her omtalte Punktpar eller Liniepar afhænge af Størrelser, 

 i hvis Rækkeudviklinger k'^ maa indgaa, ville de gaa over fra reelle til imaginære eller om- 

 vendt, naar k skifter Fortegn, saafremt ellers det særegne Punkt er reelt og Funktionerne ip 

 ere reelle. 



Dualitetsprincipet |giver Egenskaberne ved Kurverne ß' , der kunne fremstilles ved 

 de samme Ligninger, idet da blot Punktkoordinater maa ombyttes med Liniekoordinater. 



Paa Fig. 8 betegner 2 en Overgangskurve ß mellem 1 og 3. Dobbeltpunket 6, paa 1 har reelle 

 Grene; men b, er et isoleret Punkt paa 3. Derimod ere de to Vendetangenter Cj' reelle paa Kurven 3. At 

 det altid maa være Kurven med isoleret Punkt, paa hvilken de to Vendetangenter, der nærme sig til at fulde 

 sammen, ere reelle, viser sig ved Tegning af Figuren, men kan naturligvis ogsaa bevises analytisk. Det er 

 ogsaa bekjendt, at af de tre Vendetangenter til en Kurve af tredie Orden med Dobbeltpunkt er kun en reel, 

 naar Dobbeltpunktet har reelle Grene, men alle tre, naar det er et isoleret Punkt, a er Systemets Indhyllings- 

 kurve, 6, b^ b^ det geometriske Sted (J) for Dobbeltpunkter, c^' og de to Linier Cj' tre Tangenter til Vende- 

 tangenternes Indhyllingskurve; c^' er den midterste af disse tre Tangenter. 



Paa Fig. 9 er 2 en Overgangskurve ß' mellem 1 og 3. 6/ og 63' ere Dobbelttangenter til 1 og 3 

 henholdsvis med reelle og imaginære Røringspunkter, (o) og {b'] ere Punkter af Systemets Indhyllingskurve 

 og Dübbelttangenternes Indhyllingskurve. Kurven c^ c.^ c^ er det geometriske Sted for Spidserne. 



16. Kurverne y^ og y^'. — Tavlen i 8 viser, at en Kurve y^, naar den be- 

 tragtes som Tangentfrembringelse, er sammensat af Restkurven og et Toppunkt, som maa 

 falde i den Spids, der er gaaet over til et Røringspunkt mellem to Grene. De n' — 5 Tan- 

 genter fra dette Punkt til Restkurven ere Dobbelttangenter til den fuldstændige Kurve yg. 

 Naar nu Restkurven har d' — «' -f 7 Dobbelttangenter, maa dette bero paa, at den har 

 faaet to nye Dobbelttangenter. Del har den ogsaa virkelig, idet de to Dobbelttangenter, 

 som falde sammen i Fællestangenlen til de to Grene, der røre hinanden (se 18), ikke ere 

 Grænsestillinger for Uobbelttangenter til en foranderlig Kurve i Systemet. Denne Fælles- 



