33 317 



rører saaledes Vendetangenternes Indhyllingskurve (c') i fire Punkter, af 

 hvilke i Almindelighed ikke noget falder i O. De Vendetangenter, der ere reelle 

 for /c < O, vedblive at være det, naar Æ > 0. 



Dualitetsprincipet giver de tilsvarende Egenskaber ved Kurverne ;-q"s nærliggende 

 Kurver. 



Paa Fig. 10, 11, 12 fremstiller 2 tre forskj'ellige Former for de Grene af en Overgangskurve y^, der 

 gaa gjennem det nye særegne Punkt O, nemlig saadanne, hvor disse Grene vende Konkaviteterne modsat 

 Vej eller samme Vej eller ere imaginære, saa Punktet bliver et isoleret Punkt. I alle tre Tilfælde maa man 

 under Tegningen af de nærliggende Kurver 1 og 3 iagttage, at ingen ret Linie, der er forbunden med en af 

 disse Kurver paa en saadan Maade, at den kommer til at gaa igjennem O, naar Kurven falder sammen med 

 2, maa skjære den i mere end fire Punkter, som samtidig ville falde i O, samt at ingen af disse Kurver 

 har nogen Dobbelttangent, der til Grænsestilling har Tangenten til 2 i O. Man vil da i alle tre Tilfælde finde 

 to og kun to reelle Vendetangenter blandt de fire, som nærme sig til Tangenten til 2 i 

 dens særegne Punkt. Dette maa ogsaa kunne bevises analytisk, (c') betegner Punkter af Vendetangenternes 

 Indhyllingskurve. 



Figurerne 13, 14, 15, hvor 2 er en Kurve y^', svare dualistisk henholdsvis til Fig. 10, 11, 12. 



17. Kurverne y^. — En Kurve ;') adskiller sig, naar den betragtes som Punkt- 

 frembringelse, kun derved fra en Kurve y^, at den ene af de to Grene, der røre hinanden, 

 er en ret Linie. Tavlen i 8 viser, at Røringspunktet O ogsaa nu maa være et enkelt Top- 

 punkt. De n' — 3 Tangenter for O til Restkurver maa da være Dobbelttangenter, og Tavlen 

 viser, at den fuldstændige Kurve ^j ikke har andre Dobbelttangenter end disse og Rest- 

 kurvens. Den fuldstændige Kurve yi har derimod en Vendetangent mere end Restkurven, 

 og denne maa falde sammen med den retliniede Gren. Vi se da, at ^^urven y^ betragtet 

 som Tangentdannelse er en saadan Kurve i Systemet, der i Stedet for en Vendetangent 

 har faaet en Røring mellem to Grene, af hvilke den ene er et Toppunkt, uden at der har 

 fundet nogen yderligere Sammenfalden Sted af særegne Tangenter eller nogen yderligere 

 Dannelse af Toppunkter. En Kurve y, er altsaa tillige en Kurve y^' (se 7). Dua- 

 litetsprincipet giver, at den omvendte Sætning ogsaa er rigtig. 



En Kurve y^ fremstilles analytisk paa samme Maade som en Kurve y^ eller ;',,'. 

 Skal Kurven Æ = O i det til et bevægeligt Koordinatsystem henførte Kurvesystem (XI) være 

 en Kurve y^, maa y være Faktor i (Pj, + -'-, og skriver man da for cf^-h... J/ (ffa +..•), 

 skulle de ?i— 3 fra Nul forskjellige Rødder x i den Ligning, der dannes ved i 



(pi +(P3 + •■■ = O 

 at sætte y = O, ogsaa være Rødder i den Ligning, der dannes ved i 



1^3 + »^4 + • • • = O 

 at sætte /c =: O, y = (smlgn. 13), eller de to saaledes dannede Polynomier i x skulle paa 

 en Faktor ax nær være identiske. Den retliniede Grens Røringspunkt med Indhyllings- 



Vidensh. SeJsb. Shr. 6 Række, nalumdensk. og nalhem. Afd, 10 B. IV. 41 



