318 34 



kurven kan naturligvis her først vise sig, naar vi ogsaa tage Hensyn til Koordinatsystemets 

 Bevægelse. Naar denne retliniede Gren to Gange skal røre Systemets Indhyllingskurve, vil 

 den have n + 1 Punkter fælles med den konsekutive Kurve — nemlig to (reelle eller ima- 

 ginære), der falde sammen i det særegne Punkt O, de n — 3 Skjæringspunkter med Rest- 

 kurven og de to Røringspunkter med Indhyllingskurven. Den maa altsaa ogsaa blive en 

 Gren af den konsekutive Kurve og altsaa ogsaa af Indhyllingskurven (smlgn. 13). Kurven 

 yi's Toppunkt vil have tilsvarende Egenskaber. Forøvrigt fremgaa Egenskaberne ved Kur- 

 verne yi's nærliggende Kurver af, hvad der i 16 er sagt om Kurverne y^s nærliggende 

 Kurver. 



Paa Fig. 16 er 2 en Overgangskurve y, mellem I og 3. De tre Kurver, som ere tegnede i Fig. 16, 

 danne tilsammen en Overgangsfigur mellem Figurerne 10 og 11, naar alle Kurver paa disse Figurer betragtes 

 som Punktdannelser, og mellem Figurerne 13 og 14, uaar Kurverne betragtes som Tangentdannelser. For 

 med Øjet ogsaa at opfatte deUe sidste maa man erindre, at en retliniet Gren ikke gjør sig gjældende paa en 

 Kurve, der betragtes som Tangentdannelse, samt at Fig. 16 skal dannes af 13 eller 14 derved, at to Grene 

 lukkes sammen til en Bue med meget stærk Krumning, som kan nærme sig til et Toppunkt, f. Ex. de overste 

 i Fig. 13, som for Kurven l's Vedkommende ere forbundne ved en punkteret Linie. 



18. Kurverne [2d), [de) og (2e). — Naar to Dobbeltpunkter falde sammen, 

 uden at flere særegne Punkter falde i samme Punkt, maa begge Dobbeltpunkterne dannes 

 af de samme to Grene , som saaledes komme til at røre hinanden. Ifølge 6 er ingen af 

 disse to Grene retliniet. Der vil derfor samtidig falde to Fællestangenter til Grenene 

 sammen i Tangenten i Roringspunket, uden at der tillige falder flere særegne Tangenter 

 sammen. De særegne Kurver (Id) ere derfor tillige Kurver {2d']. Dualitels- 

 principet giver den omvendte Sætning. 



Hvis et af de to her omtalte Dobbeltpunkter ombyttes med en Spids , bliver det 

 dannede særegne Punkt som bekjendt (se forøvrigt 20) Tilbagegangspunkt af anden 

 Art af den simpleste Beskaffenhed (nemlig et saadant, hvor Kurven skjæres af sin 

 Tangent i fire sammenfaldende Punkter (')). I et saadant Punkts Tangent falder en Dobbelt- 

 tangent sammen med en Vendetangent (-), og man finder da ligeledes, at de særegne 

 Kurver (de) og de særegne Kurver (d'e') ere de samme. 



Hvis endelig to Spidser skulle falde sammen i et Punkt O uden at danne noget 

 nyt Dobbeltpunkt, ser man, at de Grene, der danne disse Spidser maa smelte saaledes 

 sammen, at de danne samme Figur som lo Grene, der gaa gjennem Punktet O, uden at 

 nogen enkelt af dem danner særegne Punkter. I modsat Fald havde man nemlig et fir- 



(') Ligesaa er en Spids et Tilbagegangspunkt af første Art af den simpleste Beskaffenhed, nemlig et 

 saadant, hvor Kurven skjæres af sin Tangent i tre sammenfaldende Punkter. Andre Tilbagegangs- 

 punkter af første eller anden Art dannes ved yderligere Sammenfalden af Dobbeltpunkter og Spidser. 



(") Se Plücker Theorie der algebraischen Curven. 2 Afsn. 62. 



