35 319 



dobbelt Punkt, i hvilket foruden de to Spidser endnu fire DoLbeltpunkter faldt sammen. 

 Paa en Sammenfalden af to Spidser , uden at samtidig Dobbeltpunkter faldt sammen, 

 have vi havt Exempel i Kurverne /S', hvor den ene af de to Grene blev en ret Linie, der 

 var Vendetangent til Restkurven, og som altsaa havde Trepunktsrøring (Røring af anden 

 Orden) med den. Vi have nu i 7, netop for at udelukke Kurverne 5', forudsat, at Kur- 

 verne (2e) ikke havde retliniede Grene; men vi skulle nu se, at ogsaa de to Grene af en 

 Kurve (2e) have Trepunktsrøring. 



Hertil kunne vi blandt andet anvende de Pliicker'ske Formler. Idet det særegne Punkt 

 ikke mere betragtes som dannet af to Grene med Spidser, men af to Grene uden særegne Punkter, 

 ere de særegne Punkter, som erstatte Spidserne, saadanne, som kunne dannes af forskjellige 

 Grene, altsaa sammensatte af lutter Dobbellpunkter. Vi have nu forudsat, at ingen Gren af 

 Kurven er retliniet, og der dannes ingen Toppunkter, ved at to Spidser falde sammen, saa Kurven 

 beholder Tallene n og n'. Den første Formel (1) giver da, at to Spidser, naar n og n' 

 skulle blive uforandrede, maa ombyttes med tre Dobbeltpunkter, Heraf følger, at de to 

 Grene af Kurven 2e faa Trepunktsrøring. Det samme vil man finde ved for en 

 nærliggende Kurve til Kurven (2e) at konstruere en Hjælpekurve, der rører den i begge 

 Spidser. Denne Hjælpekurve faar til Grænsestilling en Kurve, der skjærer Kurven (2e) i 

 sex Punkter, der falde sammen i det særegne Punkt. — Det samme vil i 21 fremgaa ad 

 analytisk Vej. 



Naar man i de Pliicker'ske Formler ombytter e og d med e — 2 og d -}- Z uden at 

 forandre n og n' , maa man samtidig ombytte e' og d' med e' — 2 og d' -\- 3. Det ses 

 da, at, samtidig med at de to Spidser falde sammen og danne tre DobbeKpunkter, maa to 

 Vendetangenter falde sammen og danne tre Dobbelttangenter. Kurverne (2e) ere altsaa 

 tillige Kurver (2e'). Dualiletsprincipet giver den omvendte Sætning. 



Anmærkning. Vi se, at vi, naar vi betragte en Kurve (2e) for sig, efter Behag 

 kunne regne dens Pliicker'ske Tal, enten saaledes, at det nye særegne Punkt er dannet 

 af 3 Dobbeltpunkter, den særegne Tangent af 3 Dobbelttangenter, eller saaledes, at de 

 dannes henholdsvis af 2 Spidser og 2 Vendetangenter. Naar den derimod betragtes som 

 en Kurve i Systemet, maa man holde sig til den sidste Opfattelse. Nu har Cayley('), 

 idet han foruden til en Kurves Pliicker'ske Tal tager Hensyn til dens Slægt (genre), tillagt 

 enhver Kurve med sammensatte særegne Punkter og Tangenter fuldkommen bestemte 

 Pliicker'ske Tal, og hans Bestemmelse af disse er en saadan , at Røring af anden Orden 

 mellem to Grene skal være dannet derved, at saavel tre Dobbeltpunkter som tre Dobbelt- 

 langenter falde sammen. Da man nu imidlertid virkelig i Systemer af Kurver med mindst 



C) Quart. Journal of Math. vol. Vil p. 212. 



41* 



