320 36 



to Spidser og lo Vendetangenter (inder Kurver (2e), hvad vi have fundet bekræftet ved Kurver 

 af fjerde Orden, kan det Hensyn, der ligger til Grund for C a y ley 's Betragtning, ikke gjorc sig 

 gjældende her. 



19. Analytisk Fremstilling af Kurverne {'2d). — Vi ville henføre en vil- 

 kaarlig Kurve i et System, som, idet k nærmer sig til Nul, nærmer sig til en Kurve (2d), 

 til et Koordinatsystem, hvor y = O er Forbindelseslinien mellem de to Oobbeltpunkter, som 

 falde sammen for /i; = 0. Denne er i Almindelighed bevægelig; men da den er fuldkommen 

 bestemt, naar Kurven er en given nærliggende Kurve til (2d), vil Ændring til et fast Koor- 

 dinatsystem ske ved en Ligning, hvis Koefflcientcr kunne udvikles i Rækker efter Potenser 

 af k med hele Exponenter. Om Ligningen for Kurvesystemet henført til dette bevægelige 

 Koordinatsystem maa der altsaa gjælde det samme, som i 2 er forudsat at gjælde om den 

 Ligning, hvorved Systemet henføres til et fast Koordinatsystem, at Koefficienterne kunne 

 udvikles i Hækker efter Potenser af k med hele Exponenter. Systemets Ligning bliver 

 altsaa ogsaa nu — naar vi lade Axen x = O gaa igjennem det særegne Punkt paa Kurven 



{2d) af Formen 



y^-\-<f2!/-i-(fi+...+ktp = 0. (XII) 



Da der kun er to Dobbellpunkter, som for k = falde i Begyndelsespunktet, maa 



deres Abscisser kunne udvikles i Række efter Potenser af k^ med hele Exponenter 



/j Ä.- 2 4-/2 /<;+... . Ved Flytning af Begyndelsespunktet til et af disse Dobbeltpunkter, 



som sker ved Ombytning af x med x -\-fi k'^ -{-f.2 k -{- ..., skal Ligningen komme til ikke 



at indeholde Led, som ere af mindre end anden Grad med Hensyn til x og y. Denne 



Omstændighed kan benyttes til Bestemmelse af /'j , /j ..• samt af visse Ligninger, som 



Koefficienterne i ip maa tilfredsstille. Man vil for det første finde, at Ligningen (XII) ikke 



kan indeholde Led af mindre end anden (Irad med Hensyn til y, k og x^. Leddene af 



anden Grad med Hensyn til disse Størrelser ijene til Bestemmelse af/,. De ere 



1/ + ax^y + bx^ + k(aii/ + bi x'') +k-^ b^. (XHI) 



Naar disse Led ved Indsættelse af x +/i Æ? for x skulle reduceres til Led af mindst 

 andeii Grad med Hensyn til x og y, maa man have 



«/x' +«1 =0, 



Abf,-^+2bJ, =0. 

 Disse Ligninger medføre Betingelsesligningerne 





a bl 

 T 



hvorefter den første Ligning bestemmer/,. 



