37 321 



Leddene af anden Grad med Hensyn til a; og j^ i det omdannede Polynomium (XIII) 

 ville da, efter Reduktion ved de fundne Ligninger, blive 



2/2 + 2«/iÆJa;y + 4oy\2/,a;2 = 0, (XIV) 



som tjener til Bestemmelse af første Led i de Udtryk for -, som bestemme Tangenterne i 



X 



det Oobbeltpunkt, hvortil Begyndelsespunktet er flyttet. — Paa lignende Maade kunde man 

 ved at medtage Led af højere Orden af Kurvesystemets Ligning finde flere Led i de her 

 omtalte Rækkeudviklinger samt de Betingelser, som de øvrige Koefficienter i ^p skulle til- 

 fredsstille. 



Idet den bevægelige Abscisseaxes Forflyttelse , der for lim. h=--Q i Almindelighed 

 er uendelig lille af første Orden — da den kun afhænger af Potenser af k med hele Ex- 

 ponenter — , forsvinder over for Forflyttelser af Ordenen -^^ , finde vi, at de to Dobbelt- 

 punkter paa den ved en uendelig lille Værdi af k bestemte Kurve i Almindelighed have en 

 Afstand fra det særegne Punkt pa,i Kurven (2 <^) og indbyrdes, som er uendelig lille af 



Ordenen — , og at Tangenterne i disse Dobbeltpunkter danne Vinkler med den særegne 



^ 1 



Tangent og indbyrdes af Ordenen —. Man vil ligeledes kunne udlede af disse Ligninger — 



i Stedet for hvilke man ogsaa kunde have anvendt Tangentligninger —, at Bevægelserne af 

 de to Dobbeltlangenter, der nærme sig til at falde sammen, og af deres Røringspunkter 

 blive uendelig smaa af Ordenen -— for Hm. Æ=0. Heraf slutter man, at én Gren af Kur- 

 verne b og b' og to Grene af Kurverne p og 2>' rore Kurven (Id) i dens særegne Punkt. 

 Derimod vil Systemets Indhyllingskurve i Almindelighed ikke gaa gjennem dette Punkt. — De 

 her omtalte Resultaler følge forøvrigt af, at hver nf de to Grene af den til en Værdi af k 

 svarende Kurve ifølge 2, naar lim. i=0, skulle have en Afstand fra den tilsvarende 

 Gren af Kurven (2d], som er uendelig lille af første Orden. 



Paa Fig. 17 antages de to Grene at bevæge sig i modsat Retning. Idet Konkaviteterne vende modsat 

 Vej, ere Dobbeltpunkterne reelle, saalænge Dobbelltangenterne ere imaginære (Kurven 1) og omvendt (Kurven 3). 

 Det modsatte er Tilfældet, naar Konkaviteterne vende samme Vej. 



20. Analytisk Fremstilling af Kurverne (de). Hvis de i 19 fremstillede 

 særegne Kurver skulle være Kurver (de), maa de to Tangenter i et af Dobbeltpunkterne 

 falde sammen. En nødvendig Betingelse herfor er, at (XIV) giver lige Rødder, eller at 



a2 = \b. 

 Denne Betingelse, som rammer de af k uafhængige Led i Systemets Ligning (XII); ((XIII) 

 indeholder Led af denne), udtrykker netop, hvad der er angivet i 18, at det særegne Punkt 

 paa Kurven (de) er et Tilbagegangspunkt af anden Art. 



Ved den videre Undersøgelse af Kurver, der nærme sig til en Kurve (de) [samt af 



