39 323 



og to Gange være Rod i Ligningen 



c/a' + Cl// + c,/, 3 + c.J,^ +c,f^+c,= 0. (XIX) 



Første Led i de Værdier af — , som bestemme Stillingen af Tangenterne i det til 

 en Værdi af /a svarende særegne Punkt mod den bevægelige Parabel y = 0, findes ved 

 Ligningen 



y^ + (lOc/^ä + 6c,/,2 + 3c,/, + c.,] k^x^=Q, (XX) 



idet Koefficienten til xy, som bliver af anden Grad med Bensyn til h, ikke kan komme i 

 Betragtning, saalænge vi ikke medtage flere Led af Kurvens Ligning. Naar nu Punktet 

 skal være en Spids, maa denne Ligning have lige Rødder. Koefficienten til x- maa da 

 forsvinde, hvorved udtrykkes, at /, endnu en tredie Gang er Rod i (XLX). De Betingelser, 

 som Koefficienterne b^^ è,, eg, Cj, .. Cg maa tilfredsstille, for at det fremstillede System 

 virkelig skal være et saadant, hvori Æ = giver en Kurve {de), ere altsaa de, som ud- 

 trykke, at Ligning (XIX) har en dobbelt og en tredobbelt Rod, og at disse 

 begge tilfredsstille Ligning (XVIII). 



Vi se nu let Rigligheden af den Paastand, at Ligning (XVII) ikke kan indeholde 

 Led, der ikke indeholde y, og som ere af lavere end femte Grad med Uensyn til x og k. 

 Saadanne Led vilde nemlig give Anledning til en Ligning, som skulde spille samme Rolle 

 som (XIX), altsaa ogsaa have en dobbelt og en tredobbelt Rod, men som var af lavere 

 Grad, hvilket er umuligt. 



Man ser ogsaa, at Ligningen ikke kan indeholde Led, som kun indeholde første 

 Potens af y og ere af mindre end tredie Grad med Hensyn til x og k. Da Ligningen 

 nemlig for k = ikke har noget saadant Led, vilde disse Led ikke indeholde x i højere 

 Potens end første, og altsaa give Anledning til en Ligning af første Grad, der skulde 

 erstatte (XVIII), hvilket er umuligt, da denne Ligning skal have 2 Rødder. 



Man finder, at naar en Kurve bestemt ved k nærmer sig til at falde sammen med 

 en Kurve [de), blive dens særegne Punkters Afstande fra det særegne Punkt paa {de) uen- 

 delig smaa af første Orden. De Vinkler, som Tangenterne i Dobbeltpunktet danne med 



3 

 den bevægelige Parabel y = 0, og altsaa indbyrdes, blive af Ordenen — , medens den Vin- 

 kel, som Tangenten i Spidsen danner med samme Kurve, bliver af anden Orden. Nu danne 

 i disse Punkter (hvis æ-Koordinater ere uendelig smaa af første Orden) Tangenterne til 

 Parablen (hvis Afvigelse fra Parablen i det faste System ligeledes i Almindelighed er 

 uendelig lille af første Orden) Vinkler med den særegne Tangent til Kurven (de), som maa 

 blive af første Orden. Det samme bliver da Tilfældet med Tangenterne til den ved k be- 

 stemte Kurve i dens særegne Punkter. 



Ligeledes finder man ved Ombytning af Punkt og Liniekoordinater, at de to sær- 

 egne-Tangenter til den ved k bestemte Kurve og deres Røringspunkter afvige uendelig lidt 



