324 



40 



af første Orden fra deres Beliggenheder paa Kurven (de). Afstanden mellem Dobbelttangentens 

 to Røringspunkter bliver derimod af Ordenen y. — Vi se heraf, at Kurverne (&), (c) og {q') 

 gaa gjennem det særegne Punkt paa Kurven {de), og at dette Punkt bliver en Spids paa 

 Kurven {p'), samt at Kurverne (b'), (c') og {q) røre den særegne Tangent til Kurven (de), 

 og at denne Linie bliver en Vendetangent til Kurven (;j). 



Ved Tegningen af en Figur (se Fig. IS) ser man, at Dobbeltpunktets Grene og Dobbelttangentens 

 Røringspunkter samtidig ere reelle (Kurven 1) og samtidig imaginære (Kurven 3). 



21. Analytisk Fremstilling af Kurverne (2e). — Naar Ligning (XVI), idet 

 vi vedblive at benytte samme Koordinatsystem, skal fremstille Kurver, der for 

 lim. Ä; = nærme sig til en Kurve (2e), ses det af 20, at y g maa indeholde Faktoren y; 

 thi i modsat Fald kunde paa den ene Side de to særegne Punkter, der nærme sig til at 

 falde sammen, ikke bestemmes ved a; =/i ÆJ +/2 '<: + • • •> saaledes at /i ^ O , og paa 

 den anden Side skulde, naar /i = O, Ligning (XIX) have to tredobbelte Rødder. Ligningen 

 kan da skrives 



Denne Ligning viser, at Kurven (2e) virkelig har to Grene gjennem Punktet (O, 0), som 

 begge have Trepunktsrøring med Kurven y = altsaa ogsaa indbyrdes. 



Hvis nu de Spidser paa (XXI), som nærme sig til at falde sammen, skulle bestemmes 

 sed x=fik^+fik-{- ..., maa følgende Led af (XXI), som ikke vil indeholde Led under 

 anden Grad med Bensyn til y, k^ og x^, benyttes til Bestemmelsen af/j: 



2/2 -f Ja;3 y + cx^ + k [b^ xy + c^ x^) + k" c^ x^ + k'^ c^. (XXII) 



Naar Led af mindre end anden Grad med Hensyn til x og y skulle forsvinde heraf 

 ved Indsættelse af x -\-fik^i og naar Leddene af anden Grad skulle danne et fuldstændigt 

 Kvadrat, maa man have 



og denne Størrelse maa desuden være dobbelt Rod i Ligningen 



ca;3 +Ci a;2 +C2 a; + C3 = 0. (XXIV) 



Den Værdi af — , som bestemmer den Vinkel, Tangenten i en Spids danner med 



X 



Kurven v = 0, bliver for lim. Æ=0 uendelig lille af første Orden; men da selve denne Kurves 



1 

 Tangent i det paagjældende Punkt danner en Vinkel af Ordenen — med den særegne Tan- 



1 

 gent til Kurven (2e), bliver den Vinkel, som Spidsens Tangent danner, ogsaa af Ordenen -2". 



Man finder saaledes, at paa en Kurve, der idet lim. X; = O nærmer sig til en Kurve 

 (2e), ville de to Spidser og Tangenterne i samme, samt de to Vendetangenter og sammes 



