41 325 



Røringspunkter have Afstande fra og danne Vinkler med deres Grænsestillinger, som ere 



uendelig smaa af Ordenen—. Heraf følger, at Kurverne (cl, (c'), {q\ og {g') røre Kurven 



(2e) i dens særegne Punkt. 



Ved Tegningen af Figurer (se Fig. 19 og 20) ser man, at de to Spidser og de to Vendetangenter 

 samtidig ere reelle (Kurverne 1) og samtidig blive imaginære (Kurverne 3). Paa Fig. 20 reduceres den Gren 

 af Kurve 2, hvorpaa det lier kommer an, til et Punkt og bliver imaginær paa Kurveu 3. 



22. Kurverne (3of|, {2de\, (die), (3(7'l, (2d'e'), {d'2fi.'). — De særegne 

 Punkter paa og Tangenter til Kurverne (de) og (2e) opstod derved, at to særegne Punkter 

 eller Tangenter faldt sammen, uden at dette medførte, at flere faldt sammen med dem. 

 Dette vil derimod være Tilfældet, naar der ved deres Sammenfalden dannes tredobbelte 

 Punkter og Tangenter i dette Ords mest omfattende Betydning, det er: Punkter, 

 i hvilke Kurven af enhver ret Linie, som gaar derigjennem, skjæres i tre sammenfaldende 

 Punkter, og Linier, i hvilke tre af de Tangenter til Kurven, som udgaa fra et hvilketsom- 

 helst af deres Punkter, falde sammen ('). 



Det er maaske mest iøjnefaldende, at Kurverne {2d'), {2d'e') og (2e'd') høre til et 

 Systems sædvanlige særegne Kurver. Det vil nemlig være dem, hvor en Dobbelt- 

 tangent enten endnu engang rører Kurven [(3cZ')]) el'er ' 6t af sine Røringspunkter 

 faar Roring af anden Orden [(2d'e')], eller faar sædvanlig Topunktsrøring i to sammen- 

 faldende Røringspunkter, altsaa Firpunktsrøring [(d'2e')]. Derved dannes henholdsvis en 

 tredobbelt Tangent med adskilte Røringspunkter (altsaa en egentlig tredobbelt Tangent) 

 eller en tredobbelt Tangent (i den ovenfor nævnte omfattende Betydning af Ordet) med to 

 eller med tre sammenfaldende Røringspunkter. Dobbelttangenten falder sammen henholds- 

 vis med to andre Dobbelttangenter, med en anden Dobbelttangent og en Vendetangent eller 

 med to Vendetangenter. Tor at et Kurvesystem virkelig skal indeholde Kurver ßd'}, (2d'e'), 

 (d'2e'), maa dets Kurver mindst være af 6'te, 5'te eller 4'de Orden og mindst have de 

 særegne Tangenter, som skulle falde sammen. — Dualitetsprincipet giver de tilsvarende 

 Egenskaber ved Kurverne (3rf), (2 de) og id2e). 



Da en Kurve (3 d) eller (2 de) dannes ved, at en ny Gren gaar gjennem et Dobbelt- 

 punkt eller en Spids, og saavel den tilsvarende Gren som det tilsvarende Punkt af en nær- 

 liggende Kurve — bestemt ved k — for lim. Æ = O ere i uendelig smaa Afstande af 

 første Orden fra de Stillinger, de indtage paa Kurverne (Zd) og (2 de), ville den nærliggende 

 Kurves Egenskaber følge af de bekjendte Egenskaber ved Dobbeltpunkter og Spidser. Man 

 finder, at det særegne Punkt paa en Kurve (3c?) er et tredobbelt Punkt paa Kurven (b), og 



C) Havde vi brugt den tilsvarende mest omfattende Betydning af dobbelt Punkt og dobbelt Tangent, 

 maatte vi have betragtet Spidser og Vendetangenter som specielle Tilfælde af dobbelte Punkter og 

 Tangenter. 



Vfdensk. Selsk. Skr, 5 Bække, nalurvidensk. og mathem. Afd. 10 Bd. IV. 42 



