326 42 



at det særegne Punkt paa en Kurve (2 de] er en Spids paa Kurven (b) og et enkelt Punkt 

 af Kurven (c). 



Man finder ligesaa, at den særegne Tangent til Kurven (id') er tredobbelt Tangent 

 til Kurven [h'), og at den særegne Tangent til Kurven (2d'e') er Vendetangent til Kurven 

 [b') og enkelt Tangent til Kurven (c'). 



23. Analytisk Bestemmelse af Kurverne (d2e) og (i'2e'). — El Kurve- 

 system, hvor k = giver en Kurve [d' 2e'\, kan, idet vi paany anvende sædvanlige lineære 

 Koordinater, fremstilles ved Ligningen 



2/(^0 + Vi +ff2) + ^4 +... + Æv = 0, (XXV) 



og denne Ligning vil i Almindelighed — det er, naar ikke noget særeget Punkt falder i 

 Punktet (O, 0) (som i XII)) — fremstille et saadant System. Undersøgelsen foretages imid- 

 lertid lettest ved et bevægeligt Koordinatsystem, i hvilket man til Axe i/=0 tager den 

 Dobbelttangenl , der har Axen ^ = O i det faste Koordinatsystem til Grænsestilling. I saa 

 Fald skal Ligningen, derved at Begyndelsespunktet flyttes til et Røringspunkt ved for x at 

 sætte X + fi Jc'^ +f2 ^+ •••) miste de Led, som ere uafhængige af y og af mindre end 

 anden Grad med Hensyn til x. En Betingelse herfor vil være, at blandt de af y uafhængige 

 Led, som Ligningen indeholder, intet er af mindre end anden Grad med Hensyn til æ^ og 

 k, medens Leddene af anden Grad danne et Kvadrat. De Led af Ligning (XXV), som man 

 da faar Brug for i de Undersøgelser, hvorpaa del her udelukkende kommer an, blive da 



y + aix'' +aik)K (XXVI) 



Man finder /,2 = — a^. 



Paa den ved k bestemte Kurve faa, naar lim. k = 0, Dobbelttangentens og de to 

 Vendetangenters Uøringspunkter Afstande fra Kurven (d' 2e'fs Røringspunkt med sin sær- 

 egne Tangent, som ere uendehg smaa af Ordenen-—. Vendetangenterne paa den ved k 

 bestemte Kurve danne saavel indbyrdes som med samme Kurves Dobbelttangent Vinkler af 

 Ordenen — ; den Tangent fra et Punkt af Dobbelttangenlen i endelig Afstand fra dens 

 Røringspunkter, som for k = falder sammen med Dobbelttangenten, danner en Vinkel af 

 anden Orden med Dobbeitlangenlen, og den Tangent fra el Punkt af en Vendetangent i 

 endelig Afstand fra dens Røringspunkt, som for k = falder sammen med Vendetangenten, 

 danner ligeledes en Vinkel af anden Orden med Vendetangenten. Alle disse Linier danne 

 derimod Vinkler af første Orden med den særegne Tangent til Kurven (d' 2e']. 



Man ser, at den særegne Tangent til Kurven d' 2e') rører Kurverne (p') og (q') i sil 

 Røringspunkt med (d'2e'), og at den i et og samme af sine andre Punkter rører Kurven 

 (b'i og er Vendetangent til Kurven (c'). (Se Fig. 21). 



