332 48 



i hvilke forøvrigt Punktet D blot paa engang vilde være et Dobbeltpunkt paa en Kurve i 



Systemet og et Røringspunkt med (L), elier Dobbeltpunkt paa lo Kurver i Systemet — 



kunne nemlig undgaas ved Valget af (L). Vi have saaledes ^ = 1 og finde altsaa, at to 



Punkter (AT) falde i et saadant Punkt D. [D bliver Dobbeltpunkt paa Hjælpekurven Z). 



Er D et af de c Skjæringspunkter med Kurven (c), bliver det en Spids paa en 



Kurve i Systemet. Det ses, paa samme Maade som i foregaaende Tilfælde, at, naar A' 



falder i D, to tilsvarende Punkter ¥ ogsaa gjøre det. Da en ret Linie, hvis Afstand fra 



en Spids paa en Kurve er uendelig lille af første Orden, i Almindelighed skjærer Kurven i 



3 

 to Punkter, hvis Afstand er uendelig lille af Ordenen —, ser man, at AT bliver propor- 



3 3 



tional med DX^. 1 Punktet D falder saaledes -^ . 2 = 3 Punkter (AT) sammen. — (Punktet 

 D bliver en Spids paa Hjælpekurven {Z}, der tillige har Linien (Z) til Tangent i dette Punkt.) 



Er D endelig Skjæringspunklet med Dobbelllinien paa en Kurve a' , vil man, 

 naar denne ikke rører Systemets Ind hyllin gskurve, ifølge 14 og 10 gjennem et 

 Punkt A', der nærmer sig til D, kun kunne lægge én Kurve, der nærmer sig til a' , og 

 Afstandene fra D til dennes Skjæringspunkter A' og Y blive af Ordenen — . Man finder 

 da, som naar D var et af de p' Røringspunkter, ^ == 1. Naar derimod Dobbeltlinien paa 

 o' rører Indhyllingskurven , falde to blandt de ju Kurver gjennem D sammen i 

 Kurven a' (fire, hvis den desuden forekommer to Gange i Systemet — se 14), og DX og 

 XY blive da begge uendelig smaa af første Orden, altsaa ^ = 1, Det ses saaledes, at 

 der i Punktet D falder 1, 2,4 Punkter {XY} i de Tilfælde, hvor vi have angivet, at den 

 særegne Kurve tælles 1, 2, 4 Gange med i Tallet a'. Der vil overhovedet falde et Punkt 

 (AT), for hver Gang Kurven tælles med i a'. 



Korrespondanceprincipet giver altsaa 



2(ra— l)/u = (i' + 2b + Zc+ a\ 

 som netop er Formlen (3). 



Dualitetsprincipet giver Formlen (3'). Dens med den her anførte Udledelse af (3) 



analoge Udledelse vilde bestaa i, at man søgte sammenfaldende Stillinger {XY} af Linier 



X og Y fra et fast Punkt, som røre en og samme Kurve i Systemet. 



28. Udledelse af Formlerne (4) — (8) og (4') — (8').— Formlerne (4) — (8) 

 finder man som (3') ved at søge sammenfaldende Stillinger {XY} af til hinanden svarende 

 Linier A og Y fra et fast Punkt. Linien A' gaar gjennem et Dobbeltpunkt [(4) og (6)], 

 eller en Spids [(5), (7) og (8)] paa en Kurve i Systemet. En tilsvarende Linie Y rører den 

 samme Kurve [(4) og (5)] eller gaar gjennem et (andel) Dobbeltpunkt [(6) og (7); andet Dob- 

 bellpunkl i (6)] eller en anden Spids [(8)J. Tallet y findes da ved først at søge de Kurver 

 i Systemet, som ere i den angivne Forbindelse med en vilkaarlig ret Linie betragtet som 

 Linie X. Disses Antal bliver 



