334 50 



Det vilde ikke være vanskeligt ogsaa at bevise de her anførte Sætninger ved Korre- 

 spondanceprincipet. 



Blandt de Sætninger, som faas ved Anvendelse af Dualitetsprincipet, blive de to 

 første kun andre Former for dem , hvortil de svare. 



30. Udledelse af Ligningerne (9) — (14) og (9') — (14'). — Venstre Side 

 (n — 2) . ju' + (n 4- n' — 4) . /u i Ligning (9) angiver Antallet af de Tangenter fra et fast Punkt 

 A til Kurver i Systemet, for hvilke Røringspunktet falder sammen med et af de {n — 2) 

 Punkter, hvori Tangenten skjærer Kurven. Delte Antal kan man finde ved Kprrespondance- 

 principet, idet man søger Antallet af sammenfaldende Stillinger (A'F) af Linier X og Y, som 

 forbinde et andet fast Punkt B med Røringspunktet for en Tangent fra A til en Kurve i 

 Systemet og med et af den samme Tangents n — 2 Skjæringspunkter. Man faar da ifølge 29 



Ç = (n'-2).^-+(K-2).;u', 71 = («-2) (,tt +;«'). 



Antallet Ç + i7 af Linier {XY) vil imidlertid foruden Linier fra A til de søgte Tangenters 



Røringspunkter indbefatte Linlen BA (n — 2) ju' Gange. De søgte Tangenters Antal bliver da 



{n'-2\.^t+{n-'2).fi'+[n — 2](f,+fi') — {n-2).(i' = (n — 2) . |u' + (w + n' — 4) . /*. 



Højre Side c'-\-p-j-2q i Ligning (9) findes ved Hjælp af den nu flere Gange 

 benyttede Regel 26. At Koefficienterne virkelig maa faa de her angivne Værdier (1, 1 og 2), 

 ser man ogsaa ved at tælle de Skjæringspunkter mellem de to første af de i 29 omtalte 

 Kurver C), som falde i Røringspunkterne for de Linier gjennem A, der give Løsninger af 

 den foreliggende Opgave. Saaledes stemmer den Omstændighed, at g faar Koefficienten 2, 

 dermed, at de to Kurver røre hinanden i de q Spidser, hvis Tangenter gaa gjennem A. 



Formlerne (10) — (14) bevises ganske paa samme Maade, idet deres venstre Sider 

 angive følgende Antal: 



{n — 2).b-\-d.[j, er Antallet af rette Linier, der forbinde et fast Punkt A med et 

 Dobbeltpunkl paa en Kurve i Systemet, som de endnu skjære i et tredie Punkt, der falder 

 sammen med Dobbeltpunktet; 



(n — 2) . c + e . fi Antallet af Linier, der forbinde A med en Spids paa en Kurve, 

 som de endnu skjære i et tredie Punkt, der falder sammen med Spidsen; 



(« — 3) [(« — 2) . fi' -\- 2 (n' — 2) . ju] Antallet af Linier gjennem A, som røre en Kurve 

 og endnu engang skjære den i to sammenfaldende Punkter; 



{n — 3) [(w — 2).b + 2d.(i] Antallet af Linier, som forene A med et Dobbeltpunkt 

 paa en Kurve og endnu engang skjære den i to sammenfaldende Punkter. 



{n — 3) [(« — 2).c + 2e./i] Antallet af Linier, som forene A med en Spids paa en 

 Kurve og endnu engang skjære den i to sammenfaldende Punkter. 



(*) Det er dog ingenlunde alle Skjæringspunkter udenfor A mellem de to Kurver, som give Oplosninger 

 paa den foreliggende Opgave, men kun saadanne, hvor de to Kurvers sammenfaldende Punkter svare 

 til samme Kurve i Systemet. 



