348 64 



Tredie Afsnit. 



Kurver med Mangefoldsgrene navnlig saadanne, som forekomme i Systemer a( 

 Km'ver af tredie og fjerde Orden. 



41. Første Art Kurver med en dobbelt retliniet Gren. — Idet vi først 

 skulle undersøge saadanne Kurver, hvoraf en Del er en dobbelt ret Linie (i 47 en 

 r-dobbelt ret Linie), ville vi lade denne falde i Linien y = 0. Vi ville ved de store Bog- 

 staver A, B, C . . . betegne Funktioner af x og y, og ved de tilsvarende smaa a, b, c . . . 

 de Funktioner af æ, som man faar for j/ = 0. Ved tilføjede Mærketal angives den højeste 

 Grad, hvortil disse Funktioner hæve sig med Hensyn til x og y. Ved tp betegne vi som 

 tidligere en Funktion af x, y og h, der ikke bliver uendelig for k = , idet /■; som forhen 

 betegner Systemets Parameter. 



Ligningen for et System, hvori h = skal give en Kurve med dobbelt retliniet 

 Gren, maa altid være af Formen 



A„-2y'^ +Bnh + ipk"~ = 0. (I) 



Naar vi heraf for en vilkaarlig Værdi af x, der blot ikke gjør a„_2=^0, ville finde de Vær- 

 dier af ij, som for Æ = blive Nul, faa ,vi, saafremt blot y ikke er Faktor i B„, 

 første Led i Rækkeudviklingen efter Potenser af k bestemt ved 



i„_2 y^ +b„k = O eller y = 1/ — ki, 



un — 2 



medens de andre Led derefter bestemmes ad rational Vej. Afstanden mellem de Grene, 

 der nærme sig til y = O, og deres Afstande fra denne deres Grænsestilling blive saaledes 

 for lim. Æ = proportionale med k^, og eftersom k^O ville de Værdier af x, som gjøre 



— ^^0 give reelle Værdier af y, medens de, som gjøre — ^ ^ u, giyo i.uogiuccic tœi- 

 dier. Overgangen sker gjennem de Værdier af x, som gjøre S„ = O eller ff„_2 = 0. I 

 disse Punkter maa — forsaavidt ikke flere af dem falde sammen og danne særegne Punkter — 

 Grænsekurven (^=0) røre Linierne ar = Konstant. Da nu en Ændring af Koordinatsystemet 

 (x = x' + ßy', y = y'), hvorved Linien y = O bliver uforandret, medens Linien x = 

 drejes, ikke har Indflydelse paa b„ = og a„_2==0, ses det, at Grænsekurven maa røre 

 enhver Linie gjennem de herved bestemte Punkter. De ere altsaa i Almindelighed Top- 

 punkter. 



De ved b„ = bestemte Toppunkter ere aabenbart enkelte. For at finde Be- 

 skaffenheden af dem, som bestemmes ved a„_2 = 0, ville vi antage, at Kurverne i Systemet 

 og An-2 ikke have særegne Punkter. Dette er her, hvor vi fremstille Kurverne ved Punkt- 



