65 349 



koordinater, den mest almindelige Antagelse, til hvilken alle andre kunne henføres som 

 specielle Tilfælde. De n (n—i) Tangenier fra et Punkt til den særegne Kurve blive da 

 1) de (n — 2) (n — 3) Tangenter til A„^2, 2) de n Linier gjennem de ved 5„ = O bestemte 

 enkelte Toppunkter, 3) Linierne gjennem de ved a„_2 = bestemte n — 2 Skjæringspunkter 

 mellem A„-2 og y = 0. Da nu 



n(rt — 1) — (w— 2)(/i — 3) — « = 3(rt — 2), 

 ses det, at disse sidste Toppunkter ere tredobbelte. 



Dette ser man ad analytisk Vej derved, at disse Skjæringspunkters Afstande fra de 

 nærmeste Punkter af den ved en uendelig lille Værdi af k bestemte Kurve, og derved 

 ogsaa fra Tangenter i disse Punkter, i Almindelighed blive uendelig smaa af Ordenen 

 — . Det ses da ogsaa, at blandt de tre Tangenter, der udgaa fra et givet Punkt og falde 

 sammen i en Linie gjennem et af de tredobbelte Toppunkter, er kun den ene reel. (Se 

 Fig. 23). 



Man vil, som for Kurverne a^' og aj', finde, at Systemets Indhyllingskurve i Al- 

 mindelighed har Dobbeltpunkter i de n enkelte Toppunkter (Punktet a paa Fig. 23). Der- 

 imod vil den ikke gaa gjennem de tredobbelte Toppunkter og ikke røre Linien y=0. 



Dvis Kurverne i Systemet og derfor ogsaa Grænsekurven Æ = O skulle have Dobbelt- 

 punkter eller Spidser, opnaas delte for Grænsekurvens Vedkommende, dels derved at Rest- 

 kurven J„_2 har saadanne, dels derved at Toppunkter falde sammen. Vi have allerede i 

 det foregaaende havt Exempter herpaa i Kurverne a'. Skal (1) fremstille en Kurve a^', 

 maa n — 2 af de ved b„ = bestemte enkelte Toppunkter stykkevis falde sammen med de 

 tredobbelte Toppunkter og danne to Dobbellpunkter (Skjæringspunkter mellem de sammen- 

 faldende Grene og Restkurven), hvorved der kun bliver to virkehge Toppunkter. Skal den 

 fremstille en Kurve a^' eller «q', maa J„_2 røre ^ = O én eller to Gange, og 1 Rørings- 

 punktet maa desuden falde tre af Toppunkterne b„ ^^ O for i Forening med de to sammen- 

 faldende tredobbelte Toppunkter at danne tre Spidser. Idet der desuden som før skal 

 falde et enkelt Toppunkt sammen med hvert af Skjæringspunkterne mellem A„_2 og y, 

 bliver der kun ét eller intet virkeligt Toppunkt tilbage. 



Man ser, at de her undersøgte Kurver ikke for ?i>2 henhøre til de sæd- 

 vanlige særegne Kurver i et System af Kurver af n'te Orden uden særegne 

 Punkter. De Bestemmelser, ved Hjælp af hvilke man kan bringe dem til at gaa igjennem 

 givne Punkter eller til at røre givne reite Linier, ere nemlig Bestemmelsen af Resikurven, 

 af Dobbeltlinien og af de enkelte Toppunkter. Men disse Bestemmelsers Antal er kun 



(« — 2)(n + l) , ,, , n^ + n + 2 n (n + 3) , , „. 

 - + 2 + n = ' = r 1 - (« — 2). 



2 

 For n = 2 faar man Kurverne «j'- 



Vidensk. Selsk. Skr., 5 Bække, nalurvidensk. og malhem. Afd. 10 Bd. IV 



