350 66 



42. Anden Art Kurver med en dobbelt retliniet Gren. — Den i 41 an- 

 vendte Bestemmelse af?/ vil blive ubrugelig, naar Z?„ indeholder Faktoren ?/. Ligning (I) 

 omskrives da helst til 



A„_oy^ + 2 A,-i 9j.k+Cn.k^ + ip-J^^=0. (II) 



Første Led i Rækkeudviklingen for y efter Potenser af k bestemmes da for Værdier af x, 

 der gjøre a„_2^0, ved Ligningen 



rt„_2 f/2 + 2 h^i y k + Cnk^ = o , (III) 



saa de Grene, der nærme sig til at falde sammen, for lim. h = Q faa Af- 

 stande fra deres Grænsestilling og indbyrdes, som ere uendelig smaa af 

 første Orden. Disse Grene ere, uafhængigt af les, Fortegn, reelle eller imaginære, efter- 

 som b'n-Y — a„_2 c„^0. Ligningen 



è^_, — fl„_2.c„ = O, (IV) 



vil bestemme 2{n — 1) enkelte Toppunkter. 



Vi kunne ved de Pliicker'ske Formler bestemme, hvorvidt der i Almindelighed 

 ogsaa falder Toppunkter i de ved ö„_2 = O bestemte Skjæringspunkler mellem Restkurven 

 J„_2=0 og Linien y = 0, idet vi forudsætte, at Syslemels Kurver og Restkurven ikke 

 have særegne Punkter. Det ses da, at de n— 2 Linier fra et fast Punkt til disse Skjærings- 

 punkler maa tælles som 



n(n—l)—(n — 2){u — Z) — 2(n—l) = 2(w— 2) 



Tangenter, saa hvert af de »« — 2 Skjæringspunkler mellem ^1„_2 og ?/ maa være 

 el dobbelt Toppunkt. 



Det samme ses ad analytisk Vej. I et saadant Punkt er o„_2 = O, medens vi 

 forudsætte, al è„-i ^ O, da i modsat Fald et af de 2 (n— 1) enkelte Toppunkter bestemte 

 ved (IV) faldt i samme Punkt. Ligning (III) giver da én Rod, som bestemmer første Led i 

 en af de til dette Punkts Abscisse svarende Værdier af y. Denne bliver for lim. k = O 

 uendelig lille af første Orden, og da den, naar x varierer, folger kontinuert paa andre 

 uendelig smaa Værdier af y af samme Orden, faas herved en Gren som ikke danner 

 noget Toppunkt. De andre Grene af den ved k bestemte Kurve, som nærme sig til 

 dette Punkt for k = 0, maa, da den anden Rod i (III) bliver uendelig, beslemmes ved Vær- 

 dier af y, hvis Rækker begynde med Potenser af k med lavere Exponent. For at be- 

 stemme dem tage vi dette Punkt til Degyndelsespunkt og Tangenten til Kurven An-2 til 

 Axe a; = 0. Derved bliver 



An-2 = X+A^ +.^3 4- •■■. 

 Ligning (II) kan da omskrives til 



y(x + A^ + A^ + ..] + 2B„_^k+^ip = O, (V) 



