67 351 



hvor î/) er en ny Funktion af x, y o? k. Denne Ligning vil, saaiænge?/ er uendelig lille 

 af lavere Orden end k (altsaa ikke for den allerede undersøgte Gren), give en Række- 

 udvikling for de Værdier af x, der ogsaa nærme sig til Nul, som begynder med samme 

 Led, som om Ligningen havde været 



y[x-\-A^ -h A^+..) + 2B' .k = O, 

 hvor B' er en Funktion af a; og y med samme konstante Led som 5„_i, men som ellers 

 er vllkaarlig. Den kan da bestemmes saaledes, at Ligningen ifølge 13 fremstiller et System, 

 hvori k = O giver en Kurve «j (eller a^). Vi kunne altsaa paa de Grene af Kurver i 

 Systemet (V), som vi her undersøge, overføre, hvad der i 13 er bevist om de Stykker af 

 Nabokurver til en Kurve a^, som bestemmes ved Værdier af y, som ere uendehg sraaa af 

 lavere Orden end første. Vi se saaledes, at ogsaa her to Grene, foruden den før nævnte, 

 nærme sig til Begyndelsespunktet, som bliver et dobbelt Toppunkt paa Grænsekurven, at 

 Afstandene fra Begyndelsespunktet til de to Grene og til Tangenterne fra et vilkaarligt Punkt 

 blive uendelig smaa af Ordenen |, og at de, naar Restkurven ikke er en ret Linie, (til- 

 sammen) have tre Vendetangenter, som med Linien æ = O danne Vinkler af Ordenen ^, 

 medens deres Røringspunkter bestemmes ved Værdier af a; og y, som ere uendelig smaa 

 af Ordenerne | og |, samt at Kurverne (c') og (q'\ røre Linien a; = O i Begyndelses- 

 punktet. — Fremdeles vil — idet vi have forudsat, at a; = O ikke gjør b„-i = — ingen 

 Gren af Systemets Indhyllingskurve gaa gjennem dette dobbelte Toppunkt. Derimod vil Ind- 

 hyllingskurven gaa gjennem de ved (IV) bestemte enkelte Toppunkter og røre Dobbelllinien 

 y = O i de ved c„ = O bestemte n Punkter. 



Da man ved at disponere over Restkurven -4„_2, over Dobbeltlinien og de 2(« — 1) 

 enkelte Toppunkter kan bringe denne Kurve til at tilfredsstille 



2 



elementære Betingelser, hører den ved Ligning (II) fremstillede anden Art af 

 Kurver med en dobbelt retliniet Gren med til de sædvanlige særegne Kurver 

 i System;er af Kurver uden særegne Punkter, men af en hvilkensomhelst 

 Grad. Deres Antal ville vi betegne ved g. — For n = 2 ere disse Kurver dog 

 kun en ny Fremstilling af Kurver «j' og behøve derfor ikke noget nyt Navn. 



For 7! = 3 faas en Grænsekurve sammensat af en enkelt ret Linie og en Dobbelt- 

 linie med 4 enkelte Toppunkter. I denne falde alle 8 Vendetangenter sammen. — For 

 n = 4 bliver Restkurven et Keglesnit, og Dobbeltlinien faar 6 enkelte Toppunkter. Af 

 Vendetangenterne falde, som sagt, 3 sammen i Restkurvens Tangenter i hvert af de dob- 

 belte Toppunkter, medens de 18 andre falde i Dobbeltlinien. Af Dobbelttangenterne ere de 

 12 Tangenter fra Toppunkter til Restkurven; de 16 andre falde i Dobbeltlinien. 



fuj LIBRAF 



