352 68 



I Fig. 24 og 25 fremstiller 2 en Kurve { sammensat af et Keglesnit og en Dobbeltlinie, der danner 

 Overgangen mellem to Kurver 1 og 3 af fjerde Orden. Bogstaverne a betegne de enkelte Toppunkter paa 2. 

 Det ses, at 1 og 3, naar Overgangskurven erden samme, kunne have to væsentlig forskj eilige For- 

 mer, eftersom Grenene paa en af dem i Nærheden af de to dobbelte Toppunkter ere beliggende paa samme 

 Maade (Fig. 25) eller paa modsat Maade (Fig 24) i Forhold til Grænsekurven. Havde Kurverne 1 Systemet været 

 af n'te Orden, havde man faaet 2"— 3 forskjellige Former. 



Naar som paa vore Figurer baade de dobbelte og de enkelte Toppunkter alle ere reelle, og intet af de 



enkelte Toppunkter skiller de dobbelte, maa Kurven 1 (og 3) bestaa dels af to adskilte Dele, hvoraf Buer nærme 



sig til Keglesnittet, dels af to flade Ovaler. Figurerne vise, at enten den ene af de førstnævnte Dele har 



mindst to Dobbelttangenter (Fig. 24), eller at de hver have én (Fig. 25). Disse ville tilsammen med de 



Z_l£ . 4 = 24 Fællestangenter til de fire adskilte Dele give 26 reelle Dobbelttangenter. 1 saa Fald véd man('), 



2 

 at de to andre ogsaa maa være reelle, om de end ikke have reelle Røringspunkter. Paa Fig. 24 er dette kun 



Tilfældet med den ene, idet den Del af Kurven, som har to indadgaaende Buer, har faaet en tredie svagt indad- 

 gaaende Bue langs Dobbeltlinien. Paa Fig. 25 have alle 28 Dobbelttangenter reelle Røringspunkter, idet Ova- 

 lerne have faaet svagt indadgaaende Buer. Idet alle de fire Dele, hvoraf Kurven 1 eller 3 paa Fig. 25 ere 

 sammensatte, have indadgaaende Buer, ere disse Dele væsentligt de samme som de, hvoraf den Kurve er 

 sammensat, som Plücker(') benytter til at vise, at alle 28 Dobbelttangenter kunne være reelle. — Af Vende- 

 tangenterne ere paa Fig. 24 kun 6 og paa Fig. 25 kun 8 reelle. 



Det ses let ved Tegning, at der altid maa ligge et lige Antal enkelte Toppunkter paa hvert af de to 

 Stykker, hvori de dobbelte Toppunkter dele den uendelige Dobbeltlinie. Hvis man i Stedet for som her at 

 have 6 paa det ene, intet paa det andet, havde havt 4 paa det ene, 2 paa det andet ('), kunde kun 8 Dobbelt- 

 tangenter have reelle Røringspunkter, idet Kurven vilde bestaa af to Dele, hvoraf den ene med fire indad- 

 gaaende Buer vilde have 4, den anden, en Oval, ingen Dobbelttangenter. Disse Antydninger vise, hvilken 

 Brug man kan gjøre af Grænsekurverne ved Studiet af Udseendet af Kurver af fjerde Orden. 



Medens der paa en Ktirve Ç, som skal henhøre til de sædvanlige særegne Kurver 

 i et System af Kurver uden særegne Punkter, ikke falder Toppunkter sammen, kan dette 

 selvfølgelig være Tilfældet, naar enten Kurverne i Systemet skulle have særegne Punkter, 

 eller naar den særegne Kurve ikke skal høre til de «sædvanlige». Vi skulle, hvad angaar 

 det første Tilfælde, senere enkeltvis angive specielle Former af Kuverne J, som henhøre lit 

 elementære Systemer af fjerde Orden med Dobbellpunkter. Her skulle vi angaaende det 

 sidste Tilfælde kun bemærke, at naar n — 2 af de enkelte Toppunkter stykkevis falde sam- 

 men med de 71 — 2 dobbelte Toppunkter, vil Ligning (II), hvor da o„_2 maa gaa op i bn-u 

 kun give en ny Fremstilling af den i 41 omtalte første Art af Kurver med en 

 dobbelt retliniet Gren, eller rettere sagt fremstille et System, hvis Kurver for lim. 

 k = O paa en ny Maade nærme sig til denne Art Grænsekurver. Denne Fremstillings- 

 maade maa benyltes, naar Dobbeltlinien skal røre Systemets Indhyllingskurve (specielt gaa 

 gjennem et givet Punkt). De Grene, der nærme sig til et af de tredobbelte Toppunkter, 



C) PI Ù c ker; Theorie der algebraischen Curven II 122. 

 C) Theorie der algebraischen Curven II 115. 

 C) Man bedes selv at danne sig en Figur. 



